2004-湖北文-04 单-两圆位置关系

本题导读

本题考查两圆的位置关系，以及公切线的条数。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 两个圆 $C_1:x^2+y^2+2x+2y-2=0$ 与 $C_2:x^2+y^2-4x-2y+1=0$ 的公切线有且仅有()

A. $1$ 条　　　　　B. $2$ 条　　　　　C. $3$ 条　　　　　D. $4$ 条

🔍【思路分析】

破题导航

1. 配方 $C_1:(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=4$，$C_2:(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=4$，半径均 $2$。
2. 圆心距 $d=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，满足 $0<d<4$，两圆相交。
3. 相交两圆有 2 条公切线，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

将两圆方程分别配方，得 $C_1:(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=4$，$C_2:(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=4$，两圆半径均为 $2$，圆心分别为 $(-1,-1)$、$(2,1)$，圆心距 $d=\sqrt{(2+1{)}^2+(1+1{)}^2}=\sqrt{13}$.因为 $0<d<2+2=4$，两圆相交于两个不同的点，故有且仅有 $2$ 条公切线，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两圆位置关系
2. 核心方法：配方 $C_1:(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=4$，$C_2:(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=4$，半径均 $2$，圆心距 $d=\sqrt{13}$，$0<d<4$ 相交，公切线 2 条
3. 避坑指南：两圆半径相等且相交（$|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$）时公切线恰 2 条；勿把相离或外切混入

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于两圆位置关系与公切线，教材”直线与圆”
2. 结论推广: 一般化：两圆公切线条数由 $d$ 与 $r_1\pm r_2$ 大小决定（外离 4、外切 3、相交 2、内切 1、内含 0）；配方定圆心半径，算圆心距判位置

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.04 圆与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-09 单-圆与圆的位置关系
• 2014-湖南卷文-06 单-圆与圆
• 2009-天津文-14 填-圆与圆公共弦