2004-浙江理-20 解-导数的几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于导数运算法、构造函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 设曲线 $y={\mathrm{e}}^{-x}(x⩾0)$ 在点 $M(t,{\mathrm{e}}^{-t})$ 处的切线 $l$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴所围成的三角形面积为 $S(t)$.

(1) 求切线 $l$ 的方程；

(2) 求 $S(t)$ 的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：对 $y={\mathrm{e}}^{-x}$ 求导得 $y^{\prime }=-{\mathrm{e}}^{-x}$。将 $x=t$ 代入得到切线斜率 $k=-{\mathrm{e}}^{-t}$，再用点斜式方程化简即可。
2. 第二问：令切线方程中的 $x=0$ 求得 $y$ 轴截距，令 $y=0$ 求得 $x$ 轴截距。利用直角三角形面积公式 $S(t)=\frac{1}{2}|x_{\text{截距}}|\cdot |y_{\text{截距}}|$ 建立目标函数，求导找到驻点，判定单调性求最大值。

✅【答案】

Success

(1) $y=-{\mathrm{e}}^{-t}(x-t)+{\mathrm{e}}^{-t}$

(2) $\frac{2}{\mathrm{e}}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 求切线 $l$ 的方程

对函数 $y={\mathrm{e}}^{-x}$ 求导，得： $y^{\prime }=-{\mathrm{e}}^{-x}$ 根据导数的几何意义，曲线在点 $M(t,{\mathrm{e}}^{-t})$ 处的切线 $l$ 的斜率 $k$ 为： $k=-{\mathrm{e}}^{-t}$

由直线的点斜式方程，切线 $l$ 的方程为： $y-{\mathrm{e}}^{-t}=-{\mathrm{e}}^{-t}(x-t)$ 移项化简得标准方程： ${\mathrm{e}}^{-t}x+y-(t+1){\mathrm{e}}^{-t}=0(\text{或 }y=-{\mathrm{e}}^{-t}x+(t+1){\mathrm{e}}^{-t})$

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(2) 求 $S(t)$ 的最大值

为了求切线 $l$ 与两坐标轴围成的直角三角形面积，先求其在坐标轴上的截距：

• 令 $x=0$，得 $y$ 轴上的截距为： $y_0=(t+1){\mathrm{e}}^{-t}$
• 令 $y=0$，得 $x$ 轴上的截距为： $x_0=t+1$

因为 $x⩾0$，所以 $t⩾0$，从而有 $t+1>0$， ${\mathrm{e}}^{-t}>0$。 两截距均为正数，故三角形的面积 $S(t)$ 的函数解析式为： $S(t)=\frac{1}{2}{x}_0{y}_0=\frac{1}{2}(t+1{)}^2{\mathrm{e}}^{-t}(t⩾0)$

对 $S(t)$ 关于 $t$ 求导，应用乘积求导法则及复合函数求导法则： $S^{\prime }(t)=\frac{1}{2}\left[2(t+1)\cdot {\mathrm{e}}^{-t}+(t+1{)}^2\cdot (-{\mathrm{e}}^{-t})\right]$ $S^{\prime }(t)=\frac{1}{2}(t+1){\mathrm{e}}^{-t}\left[2-(t+1)\right]=\frac{1}{2}(t+1)(1-t){\mathrm{e}}^{-t}$

由于 $t⩾0$，可知 $\frac{1}{2}(t+1){\mathrm{e}}^{-t}>0$，因此 $S^{\prime }(t)$ 的正负严格由 $(1-t)$ 决定：

• 当 $0⩽t<1$ 时， $S^{\prime }(t)>0$，函数 $S(t)$ 在 $[0,1)$ 上单调递增；
• 当 $t>1$ 时， $S^{\prime }(t)<0$，函数 $S(t)$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递减。

由此可知，当 $t=1$ 时，函数 $S(t)$ 取得最大值： $S(1)=\frac{1}{2}(1+1{)}^2{\mathrm{e}}^{-1}=\frac{1}{2}\times 4\times \frac{1}{\mathrm{e}}=\frac{2}{\mathrm{e}}$

答： $S(t)$ 的最大值为 $\frac{2}{\mathrm{e}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数求导、切线方程的点斜式构建、导数研究实际函数单调性与最值。
2. 核心方法：构造导数模型法。
3. 避坑指南：
   • 求导时不要漏掉复合函数的负号。 $({\mathrm{e}}^{-t}{)}^{\prime }=-{\mathrm{e}}^{-t}$，若在求导时漏掉这个负号，会直接导致 $S^{\prime }(t)$ 化简错误，从而无法求出正确的驻点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的高考导数与几何结合的综合大题。
2. 结论推广: 对于任何形如 $y={\mathrm{e}}^{-kx}(k>0)$ 的曲线在点 $t$ 处的切线与坐标轴围成的面积模型，其面积解析式均能化为 $S(t)=\frac{1}{2k}(kt+1{)}^2{\mathrm{e}}^{-kt}$，利用导数分析可知其最大值恒在 $t=\frac{1}{k}$ 处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 1977-辽宁-12 解-圆柱用料最省
• 2005-重庆卷文-12 填-切线围成三角形面积
• 2006-四川文-03 单-导数求切线方程