2004-浙江理-18 解-离散型随机变量的分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列。核心在于穷举分类讨论法、期望性质法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为 1 的球 3 个，标号为 2 的球 4 个，标号为 5 的球 3 个，第一次从盒子中任取 1 个球，放回后第二次再任取 1 个球 (假设取到每个球的可能性都相同). 记第一次与第二次取到球的标号之和为 $\epsilon$.

(1) 求随机变量 $\epsilon$ 的分布列；

(2) 求随机变量 $\epsilon$ 的期望 $E\epsilon$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析单次抽样概率：设单次任取 1 个球，抽到标号为 1, 2, 5 的球的事件分别为 $X_i$，根据古典概型： $P(1)=\frac{3}{10}=0.3$， $P(2)=\frac{4}{10}=0.4$， $P(5)=\frac{3}{10}=0.3$。
2. 确定 $\epsilon$ 的可能取值：因为是有放回抽取，两次抽球标号可能的两两组合结果和为： $1+1=2$, $1+2=3$, $2+2=4$, $1+5=6$, $2+5=7$, $5+5=10$。故 $\epsilon$ 的所有可能取值为 2, 3, 4, 6, 7, 10。
3. 分类计算概率：利用乘法原理和加法原理，分别计算出各取值对应的概率，列出表格。
4. 计算数学期望：根据期望定义公式 $E\epsilon =\sum x_i{p}_i$ 计算；或者利用独立同分布性质，由单次抽取的期望乘以 2 求解。

✅【答案】

Success

(1) $\epsilon$ 的分布列见解析；$E(\epsilon )=5.2$

(2) $\frac{51}{100}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 由题意，单次从盒子中任取 1 个球，取到标号为 1, 2, 5 的球的概率分别为： $P(1)=\frac{3}{10},P(2)=\frac{4}{10},P(5)=\frac{3}{10}$

(1) 求随机变量 $\epsilon$ 的分布列

随机变量 $\epsilon$ 表示两次取球的标号之和。由于试验是有放回抽样，两次抽球结果互不影响（互相独立）。 $\epsilon$ 的所有可能取值为：2, 3, 4, 6, 7, 10。

各个取值对应的概率计算如下：

• 当 $\epsilon =2$ 时，两次取球标号只能是 (1, 1)： $P(\epsilon =2)=\frac{3}{10}\times \frac{3}{10}=\frac{9}{100}$
• 当 $\epsilon =3$ 时，两次取球标号为 (1, 2) 或 (2, 1)： $P(\epsilon =3)=\frac{3}{10}\times \frac{4}{10}+\frac{4}{10}\times \frac{3}{10}=\frac{24}{100}$
• 当 $\epsilon =4$ 时，两次取球标号只能是 (2, 2)： $P(\epsilon =4)=\frac{4}{10}\times \frac{4}{10}=\frac{16}{100}$
• 当 $\epsilon =6$ 时，两次取球标号为 (1, 5) 或 (5, 1)： $P(\epsilon =6)=\frac{3}{10}\times \frac{3}{10}+\frac{3}{10}\times \frac{3}{10}=\frac{18}{100}$
• 当 $\epsilon =7$ 时，两次取球标号为 (2, 5) 或 (5, 2)： $P(\epsilon =7)=\frac{4}{10}\times \frac{3}{10}+\frac{3}{10}\times \frac{4}{10}=\frac{24}{100}$
• 当 $\epsilon =10$ 时，两次取球标号只能是 (5, 5)： $P(\epsilon =10)=\frac{3}{10}\times \frac{3}{10}=\frac{9}{100}$

(验证各概率之和： $\frac{9+24+16+18+24+9}{100}=\frac{100}{100}=1$，确保无漏项。)

由此可得随机变量 $\epsilon$ 的分布列为：

$\epsilon$	2	3	4	6	7	10
$P$	$\frac{9}{100}$	$\frac{24}{100}$	$\frac{16}{100}$	$\frac{18}{100}$	$\frac{24}{100}$	$\frac{9}{100}$

---

(2) 求随机变量 $\epsilon$ 的期望 $E\epsilon$

方法一（定义法）： 根据离散型随机变量数学期望的定义，将各取值与其对应的概率相乘后求和： $E\epsilon =2\times \frac{9}{100}+3\times \frac{24}{100}+4\times \frac{16}{100}+6\times \frac{18}{100}+7\times \frac{24}{100}+10\times \frac{9}{100}$ $E\epsilon =\frac{18+72+64+108+168+90}{100}$ $E\epsilon =\frac{520}{100}=5.2$

方法二（期望的线性性质律）： 设简化的单次抽球标号的随机变量为 $X$。则 $X$ 的分布列为：

$X$	1	2	5
$P$	$\frac{3}{10}$	$\frac{4}{10}$	$\frac{3}{10}$

单次抽球标号的期望值为： $EX=1\times \frac{3}{10}+2\times \frac{4}{10}+5\times \frac{3}{10}=\frac{3+8+15}{10}=\frac{26}{10}=2.6$ 因为 $\epsilon$ 是两次放回独立抽球的标号之和，满足 $\epsilon =X_1+X_2$，且 $X_1,X_2$ 同分布。 根据期望的线性可加性性质（无论是否独立均成立）： $E\epsilon =E(X_1+X_2)=E{X}_1+E{X}_2=2\times EX=2\times 2.6=5.2$

答：随机变量 $\epsilon$ 的期望为 $5.2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：互斥事件加法公式与独立事件乘法公式在有放回抽样中的应用、期望基本计算。
2. 核心方法：穷举表格核对法（或拆分单次期望倍乘法）。
3. 避坑指南：
   • 不要漏掉交叉项的 2 倍系数。例如当 $\epsilon =3$ 时，包含“先1后2”和“先2后1”两种不同的试验序列，计算概率时必须进行累加。如果漏掉其中一种情况，会导致最终概率之和不为 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考概率与数理统计解答题，来源于初等概率论中的独立同分布样本和的均值分析。
2. 结论推广: 一般地，设某种抽样中有 $n$ 种不同标签的元素。进行 $m$ 次有放回的独立重复抽取，记 $m$ 次抽取的标号总和为 $\epsilon$。无论单次抽样的分布列多么复杂、项数多么繁多，总和的数学期望 $E\epsilon$ 永远恒等于单次抽取期望值的 $m$ 倍，即 $E\left({\sum }_{i=1}^m{X}_i\right)=m\cdot EX$。熟练运用该期望线性律，可在解答客观题或大题验算时直接口算结果。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 14.01 随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2012-新课标Ⅰ(理)-18 解-离散型随机变量
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2013-湖北卷理-09 单-数学期望