2004-浙江理-16 填-线面垂直

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质，以及三垂线定理。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)）已知平面 $α$ 和平面 $β$ 交于直线 $l$ ， $P$ 是空间一点， $P A ⊥ α$ ，垂足为 $A$ ， $P B ⊥ β$ ，垂足为 $B$ ，且 $P A = 1$ ， $P B = 2$ ，若点 $A$ 在 $β$ 内的射影与点 $B$ 在 $α$ 内的射影重合，则点 $P$ 到 $l$ 的距离为 .

🔍【思路分析】

破题导航

理清射影几何关系：设点 $A$ 在 $β$ 内的射影为 $C$ ，同时点 $B$ 在 $α$ 内的射影也是 $C$ 。则有 $A C ⊥ β$ 且 $B C ⊥ α$ 。

证明共面与交线垂直性：

由 $P A ⊥ α$ 且 $B C ⊥ α ⟹ P A ∥ B C$ 。

由 $P B ⊥ β$ 且 $A C ⊥ β ⟹ P B ∥ A C$ 。

因此，四边形 $P A C B$ 为平行四边形。又 $∠ P A C = 9 0^{\circ}$ （因 $A C ⊥ β ⟹ A C ⊥ l$ ，而 $P A ⊥ α ⟹ P A ⊥ l$ ），故 $P A C B$ 是矩形。

进一步说明平面 $P A C B ⊥ l$ 。设平面 $P A C B$ 与 $l$ 的交点为 $D$ ，则 $P D$ 的长度即为点 $P$ 到 $l$ 的距离。

计算距离：利用矩形 $P A C B$ 中对角线和三角形各边的几何定量关系求出 $P D$ 。

✅【答案】

Success

$5$

✍【详细解析】

Abstract

解：

第一步：空间位置关系的定性推导 设点 $A$ 在 $β$ 内的射影与点 $B$ 在 $α$ 内的射影重合于点 $C$ 。由射影定义得： $A C ⊥ β, B C ⊥ α$ 因为已知 $P A ⊥ α$ 且 $P B ⊥ β$ ，根据“垂直于同一个平面的两条直线互相平行”： $P A ∥ B C 且 P B ∥ A C$ 由此可确定，点 $P, A, C, B$ 四点共面，且四边形 $P A C B$ 是一个平行四边形。

因为 $P A ⊥ α$ ，且两平面交线为 $l$ ，所以 $P A ⊥ l$ 。因为 $A C ⊥ β$ ，同理可得 $A C ⊥ l$ 。根据线面垂直的判定定理，由于 $l$ 垂直于平面 $P A C B$ 内的两条相交直线 $P A$ 和 $A C$ ，所以： $l ⊥ 平面 P A C B$

这意味着，平面 $P A C B$ 内的所有直线都与交线 $l$ 垂直。在平行四边形 $P A C B$ 中，由于 $A C ⊥ β$ 且 $B C \subset β$ ，所以 $A C ⊥ B C$ ，故平行四边形 $P A C B$ 实际上是一个矩形。

第二步：转化为平面几何问题计算 设平面 $P A C B$ 与交线 $l$ 的交点为 $D$ 。因为 $l ⊥$ 平面 $P A C B$ ，且 $P D \subset$ 平面 $P A C B$ ，所以 $P D ⊥ l$ 。因此，线段 $P D$ 的长度就是点 $P$ 到直线 $l$ 的距离。

同时，因为 $l ⊥$ 平面 $P A C B$ ，且 $A D, B D, C D$ 均在平面 $P A C B$ 内，所以 $A D ⊥ l, B D ⊥ l, C D ⊥ l$ 。由此可知，点 $D$ 必然与矩形 $P A C B$ 的顶点 $C$ 重合（即 $D \equiv C$ ）。

第三步：运用勾股定理求对角线长 在矩形 $P A C B$ 中，已知邻边长度为： $P A = 1, P B = 2$ 因为 $D$ 与 $C$ 重合，点 $P$ 到 $l$ 的距离即为矩形的对角线 $P C$ 的长度。在直角 $△ P A C$ 中，根据勾股定理： $P C = P A^{2} + A C^{2}$ 由于矩形对边相等， $A C = P B = 2$ ，代入计算得： $P C = 1^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5$

答案： $5$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的几何性质转化（同垂直则平行）、交线垂直面（ $l ⊥$ 平面 $P A C B$ ）的整体归纳判定、矩形对角线求法。

核心方法：面化降维空间作图法。

避坑指南：

切勿盲目把空间中的四边形当成任意形状来算。本题的关键突破口在于通过两条并行的垂直性质推导出四边形 $P A C B$ 必须是矩形。如果不进行定性证明，极易因画错空间直观图而误用错杂的射影定理导致运算陷入僵局。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 经典高考关于点线面垂直与射影综合考查的传统压轴填空题。

结论推广: 一般地，若平面 $α \cap β = l$ ，点 $P$ 到两面的垂线段分别为 $a$ 和 $b$ 。若两足在相对平面内的射影严格重合，其蕴含的几何本质是：点 $P$ 、两垂足、及重合射影点构成的平面必然严格垂直于二面角的棱 $l$ 。在此平面内该四边形恒为矩形，点 $P$ 到棱 $l$ 的最短距离解析式恒为两垂线段的勾股弦长： $a^{2} + b^{2}$ 。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

1980-全国理-05 解-空间平面的垂直与交线

1981-全国文-08 解-正四棱柱截面与对角面的垂直

1983-全国文-11 解-三棱锥的体积

∑ ( Math )

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2004-浙江理-16 填-线面垂直

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