2004-浙江理-15 填-排列组合与二项计数

本题导读

本题考查排列组合与二项计数，以及不定方程的整数解个数。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿 $x$ 轴跳动，每次向正方向或负方向跳 1 个单位，经过 5 次跳动质点落在点 $(3,0)$ (允许重复过此点) 处，则质点不同的运动方法共有 $\underline{}$种. (用数字作答)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立代数方程组：设质点向 $x$ 轴正方向跳动了 $a$ 次，向负方向跳动了 $b$ 次。
2. 列出约束条件：
   • 总跳动次数为 5 次： $a+b=5$；
   • 最终落点横坐标为 3： $a\times 1+b\times (-1)=3⟹a-b=3$。
3. 求解组合种数：联立方程解出 $a$ 和 $b$。在总共 5 次跳动中，任意安排 $a$ 次向正方向跳动，其组合数 ${\mathrm{C}}_5^a$ 即为不同的运动方法总数。

✅【答案】

Success

$5$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：设出未知数并建立方程组 根据题意，质点每次跳动的步长为 1。 设该质点在 5 次跳动中，向 $x$ 轴正方向跳动了 $a$ 次，向 $x$ 轴负方向跳动了 $b$ 次（其中 $a,b$ 为非负整数）。 依据题干中的定量条件，可列出方程组： $\{\begin{array}{ll}a+b=5& \text{(总次数为 5)}\\ a-b=3& \text{(最终净位移为 3)}\end{array}$

• 第二步：求解方程组确定正负方向次数 两式相加得： $2a=8⟹a=4$ 将 $a=4$ 代入第一式中： $4+b=5⟹b=1$ 这表明质点必须有 4 次向正方向跳动，1 次向负方向跳动。

• 第三步：利用组合数计算排列方法种数 质点不同的运动方法种数，等价于从 5 次跳动中挑选出 4 次安排为“向正方向跳动”（其余 1 次自动为“向负方向跳动”）。 由组合数公式计算可得： ${\mathrm{C}}_5^4={\mathrm{C}}_5^1=5$

这 5 种具体的运动序列分别为： (正,正,正,正,负)、(正,正,正,负,正)、(正,正,负,正,正)、(正,负,正,正,正)、(负,正,正,正,正)。

答案：5

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：排列组合基本计数模型、一元一次方程组在实际路径计数中的应用。
2. 核心方法：方程分析与位置组合法。
3. 避坑指南：
   • 切勿将组合问题误认为排列问题。每次跳动都是完全等价的“正”或“负”标签，属于同类元素的选位问题。如果误算成排列数 ${\mathrm{A}}_5^4=120$，或者错误地乘以其他因子，会导致结果扩大。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考排列组合应用题，是概率论中一维随机游走（Random Walk）模型在低次数情况下的定性计数原型。
2. 结论推广: 一般地，若一个质点从原点出发，每次以步长 1 向正或负方向随机跳动。经过 $n$ 次跳动后落在坐标 $x=m$ 处，则不同的路径种数存在恒定数学通式。该问题有解的充要条件是： $n$ 与 $m$ 同奇同偶且 $n⩾|m|$。此时，其正方向跳动次数必为 $a=\frac{n+m}{2}$，其对应的不同运动方法总数恒为组合数： ${\mathrm{C}}_n^{\frac{n+m}{2}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 1985-全国文-05 单-排列计数（五位数）
• 1986-上海文-28 填-排列计数奇数