2004-浙江理-09 单-椭圆的几何性质

本题导读

本题考查椭圆的几何性质，以及抛物线的标准方程与焦点。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 若椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1、F_2$，线段 $F_1{F}_2$ 被抛物线 $y^2=2bx$ 的焦点分成 $5:3$ 两段，则此椭圆的离心率为 ()

A. $\frac{16}{17}$　　　　　　B. $\frac{4\sqrt{17}}{17}$　　　　　　C. $\frac{4}{5}$　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出各焦点坐标：椭圆的左焦点 $F_1(-c,0)$，右焦点 $F_2(c,0)$。抛物线 $y^2=2bx$ 的标准形式为 $y^2=2px$，其焦点为 $F_p\left(\frac{b}{2},0\right)$。
2. 利用比例建立代数式：由于 $b>0$，抛物线焦点 $F_p$ 位于 $x$ 轴正半轴，即在原点 $O$ 的右侧，因此它更靠近右焦点 $F_2$。所以线段被分成的两段距离满足 $|F_1{F}_p|:|F_p{F}_2|=5:3$。
3. 转化为 $b$ 与 $c$ 的关系：用坐标表示出两段长度，解得 $b$ 与 $c$ 的比例。
4. 求解离心率 $e$：利用 $a^2=b^2+c^2$ 将方程全部化为关于 $c$ 和 $a$ 的齐次式，化简求出 $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：明确各曲线的焦点坐标

  • 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，其左焦点为 $F_1(-c,0)$，右焦点为 $F_2(c,0)$。
  • 对于抛物线 $y^2=2bx$，其标准方程中 $2p=2b⟹p=b$，故其焦点坐标为： $F_p\left(\frac{b}{2},0\right)$

• 第二步：根据线段比例确定长度关系 因为 $a>b>0$，所以抛物线的焦点横坐标 $\frac{b}{2}>0$，即点 $F_p$ 位于原点右侧。 在线段 $F_1{F}_2$ 上，点 $F_p$ 必然更靠近右端点 $F_2$， 因此线段被分成的两部分长之比为： $|F_1{F}_p|:|F_p{F}_2|=5:3$

  利用 $x$ 轴上的点距离公式（右边坐标减左边坐标）可得： $|F_1{F}_p|=\frac{b}{2}-(-c)=\frac{b}{2}+c$ $|F_p{F}_2|=c-\frac{b}{2}$ 代入比例式中： $\frac{\frac{b}{2}+c}{c-\frac{b}{2}}=\frac{5}{3}$

• 第三步：解方程求出 $b$ 与 $c$ 的比例关系 交叉相乘化简上式： $3\left(\frac{b}{2}+c\right)=5\left(c-\frac{b}{2}\right)$ $\frac{3}{2}b+3c=5c-\frac{5}{2}b$ 移项合并同类项： $\frac{3}{2}b+\frac{5}{2}b=5c-3c⟹4b=2c⟹c=2b$ 从而解得： $b=\frac{1}{2}c$

• 第四步：利用椭圆基本关系求离心率 $e$ 根据椭圆中基本量的平方关系 $a^2=b^2+c^2$，将 $b=\frac{1}{2}c$ 代入： $a^2={\left(\frac{1}{2}c\right)}^2+c^2=\frac{1}{4}{c}^2+c^2=\frac{5}{4}{c}^2$ 两边开平方（因 $a,c>0$）： $a=\frac{\sqrt{5}}{2}c$ 根据离心率公式 $e=\frac{c}{a}$，代入计算得： $e=\frac{c}{\frac{\sqrt{5}}{2}c}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

综合上述， (D) 选项符合题意。

答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦点通式 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$、数轴上线段内分点坐标与距离关系、离心率齐次化求法。
2. 核心方法：坐标代数化法（齐次方程法）。
3. 避坑指南：
   • 切勿将抛物线的焦点错记为 $(b,0)$。抛物线 $y^2=2bx$ 中的一次项系数是 $2b$，所以 $2p=2b⟹p=b$，焦点横坐标是 $\frac{p}{2}=\frac{b}{2}$。如果漏掉分母 2，后续计算会得出错误比例。
   • 注意分段比例的顺序性。由于抛物线焦点在正半轴，必须是左侧长（5 份），右侧短（3 份）。若错列为 $3:5$，方程将无正数解或导致结果错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考关于双曲线/椭圆与抛物线焦点位置关系组合考查的选择题。
2. 结论推广: 一般地，若椭圆的线段 $F_1{F}_2$ 被包含参数 $b$ 的某种几何特征点（坐标为 $k\cdot b$）内分为 $m:n(m>n)$ 两段，则恒有关系式 $\frac{kb+c}{c-kb}=\frac{m}{n}⟹c=\frac{m+n}{m-n}kb$。利用该公式可以直接将这一类双几何体位置融合题型转化为单一的一元二次齐次方程求 $e$ 问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1952-全国-24 解-由两点求椭圆长短线与焦点
• 1977-山西-07 解-抛物线的标准方程
• 1983-全国文-02 单-抛物线的焦点位置