2004-浙江理-07 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 若 ${\left(\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt[3]{x}}\right)}^n$ 展开式中存在常数项，则 $n$ 的值可以是 ()

A. 8　　　　　　　B. 9　　　　　　　C. 10　　　　　　　D. 12

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式 $T_{r+1}$：利用二项式展开通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，将 $\sqrt{x}$ 改写为 $x^{\frac{1}{2}}$， $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ 改写为 $2x^{-\frac{1}{3}}$。
2. 合并同底数幂：将通项中所有包含 $x$ 的指数合并，提取出总指数表达式 $\frac{n-r}{2}-\frac{r}{3}$。
3. 建立整除约束：常数项要求 $x$ 的指数严格为 0。令其为 0 可解得 $n$ 与 $r$ 的比例关系。结合二项式中 $r$ 必须是满足 $0⩽r⩽n$ 的整数，判断各选项是否可行。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：写出二项展开式的通项公式 首先将代数式中的根式转化为分数指数幂形式： $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}},\frac{2}{\sqrt[3]{x}}=2x^{-\frac{1}{3}}$

  根据二项式定理，该展开式的第 $r+1$ 项的通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r\cdot {\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{n-r}\cdot {\left(2x^{-\frac{1}{3}}\right)}^r$ 其中 $r$ 必须是满足 $0⩽r⩽n$ 的整数。

• 第二步：化简通项公式中 $x$ 的指数 将各项系数与自变量 $x$ 分离，运用幂的运算法则进行合并： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r\cdot 2^r\cdot x^{\frac{n-r}{2}}\cdot x^{-\frac{r}{3}}$ $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r\cdot 2^r\cdot x^{\frac{n-r}{2}-\frac{r}{3}}$ 将指数部分通分化简： $\frac{n-r}{2}-\frac{r}{3}=\frac{3(n-r)-2r}{6}=\frac{3n-5r}{6}$ 因此，通项公式可精炼表示为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r\cdot 2^r\cdot x^{\frac{3n-5r}{6}}$

• 第三步：利用常数项条件建立方程 展开式中存在常数项，意味着存在某个整数 $r$（ $0⩽r⩽n$），使得 $x$ 的绝对指数等于 0： $\frac{3n-5r}{6}=0⟹3n-5r=0⟹3n=5r$ 由此可变形得到 $r$ 的表达式： $r=\frac{3}{5}n$

• 第四步：结合约束条件筛选选项 由于二项式系数标号 $r$ 必须是一个非负整数， 要使 $r=\frac{3}{5}n$ 为整数，则总次数 $n$ 必须是 5 的正整数倍（即 $n$ 能被 5 整除）。

  审视给出的四个选项： (A) $n=8$，不能被 5 整除； (B) $n=9$，不能被 5 整除； (C) $n=10$，能被 5 整除（此时对应 $r=\frac{3}{5}\times 10=6⩽10$，符合题意）； (D) $n=12$，不能被 5 整除。

综合上述， (C) 选项符合题意。

答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开式通项公式 $T_{r+1}$、根式与分数幂的互化、不定方程的整数解判定。
2. 核心方法：指数归零整除法。
3. 避坑指南：
   • 不要记错通项公式的项数标号。第 $r+1$ 项中，后一项的次数是 $r$。
   • 在通分合并指数时注意负号。 $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ 的指数是 $-\frac{1}{3}$，与前面的 $\frac{n-r}{2}$ 组合时应当做减法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考二项式定理常数项、有理项考查的核心常考题型。
2. 结论推广: 一般地，对于二项式 ${\left(A{x}^p+B{x}^q\right)}^n$ 的展开式（其中 $p>0,q<0$），若其展开式中存在常数项，则方程 $p(n-r)+qr=0⟹r=\frac{p}{p-q}n$ 必然存在非负整数解。因此，存在常数项的充要条件是：分母 $(p-q)$ 经过最简分数化简后的分子部分，必须能整除 $p\cdot n$。本题中 $p=\frac{1}{2},q=-\frac{1}{3}⟹p-q=\frac{5}{6}$，故隐含着 $5$ 必须整除 $3n$，因 $\gcd (3,5)=1$，即 5 必整除 $n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1985-广东文-21 单-二项式展开式的常数项
• 1985-广东理-24 单-二项式展开式的常数项
• 1986-广东文-32 填-二项式常数项