2004-浙江理-04 单-曲线关于直线的对称变换

本题导读

本题考查曲线关于直线的对称变换，以及抛物线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 曲线 $y^2=4x$ 关于直线 $x=2$ 对称的曲线方程是 ()

A. $y^2=8-4x$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $y^2=4x-8$

C. $y^2=16-4x$　　　　　　　　　　　　　　　D. $y^2=4x-16$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定对称坐标变换规律：设原曲线上任意一点为 $P(x_0,y_0)$，其关于直线 $x=2$ 的对称点为 $P^{\prime }(x,y)$。由于是垂直于 $y$ 轴的轴对称，纵坐标不变即 $y=y_0$，横坐标满足中点公式 $\frac{x_0+x}{2}=2$。
2. 反解出原坐标表示：由中点公式反解出 $x_0=4-x$。
3. 代入化简：将 $x_0=4-x$ 和 $y_0=y$ 代入原曲线方程 $y_0^2=4x_0$ 中，展开即可得到目标曲线方程。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：建立对称点的坐标映射关系 设原曲线 $y^2=4x$ 上任意一点的坐标为 $P(x_0,y_0)$，该点关于直线 $x=2$ 的对称点坐标为 $P^{\prime }(x,y)$。 根据轴对称的几何性质：

  • 对应点连线的中点必然落在对称轴上，因此横坐标满足： $\frac{x_0+x}{2}=2⟹x_0+x=4⟹x_0=4-x$
  • 对应点连线平行于 $x$ 轴，因此纵坐标保持不变： $y_0=y$

• 第二步：代入原曲线方程进行变换 因为点 $P(x_0,y_0)$ 在原曲线 $y^2=4x$ 上，所以满足方程： $y_0^2=4x_0$ 将第一步中解得的代换关系 $x_0=4-x$ 和 $y_0=y$ 代入上式： $y^2=4(4-x)$

• 第三步：展开化简得到目标方程 展开括号中的各项： $y^2=16-4x$

(另解：顶点对称法。原抛物线 $y^2=4x$ 的顶点为 $(0,0)$，关于直线 $x=2$ 对称后的新抛物线顶点为 $(4,0)$，且开口方向相反（向左）。结合选项，只有 $\text{C}$ 选项 $y^2=-4(x-4)=16-4x$ 满足顶点为 $(4,0)$ 且开口向左的几何特征。)

综合上述， (C) 选项符合题意。

答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面点关于直线 $x=a$ 的对称变换公式 $x\to 2a-x$。
2. 核心方法：相关点代换法（直观图形旋转/对称变换法）。
3. 避坑指南：
   • 切勿记反中点公式的代换方向。公式为 $x_0=2\times 2-x=4-x$。如果粗心记成 $x=2x_0-2$ 或直接加上对称轴数值，会误选到 A 或 B 等错误选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考关于解析几何图形轨迹对称变换的基础选择题。
2. 结论推广: 一般地，任意曲线 $F(x,y)=0$ 关于直线 $x=a$ 对称的新曲线方程为 $F(2a-x,y)=0$；关于直线 $y=b$ 对称的新曲线方程为 $F(x,2b-y)=0$。牢记此对称变换因子可实现客观题“秒杀”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.05 对称性问题
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-09 解-抛物线与直线的弦长及面积
• 2006-四川文-10 单-抛物线与梯形面积
• 2013-山东卷理-11 单-抛物线性质