2004-浙江理-03 单-等差数列的通项公式

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等比中项与等比数列的性质。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 2，若 $a_1,a_3,a_4$ 成等比数列，则 $a_2=$ ()

A. $-4$　　　　　　B. $-6$　　　　　　C. $-8$　　　　　　D. $-10$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一基本元：利用等差数列通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，已知 $d=2$，将 $a_3,a_4$ 均用含有 $a_1$ 的代数式表示。
2. 利用等比中项列式：由 $a_1,a_3,a_4$ 成等比数列，得出 $a_3^2=a_1\cdot a_4$。
3. 求解与化简：代入代数式求解一元一次方程得到 $a_1$，进而利用 $a_2=a_1+d$ 算出结果。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：用首项 $a_1$ 表示各项 已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，公差 $d=2$。 根据等差数列的通项公式，可得： $a_3=a_1+2d=a_1+2\times 2=a_1+4$ $a_4=a_1+3d=a_1+3\times 2=a_1+6$

• 第二步：根据等比性质建立方程 因为 $a_1,a_3,a_4$ 成等比数列， 根据等比中项的基本性质，满足： $a_3^2=a_1\cdot a_4$ 将前面用 $a_1$ 表示的代数式代入上式中： $(a_1+4{)}^2=a_1(a_1+6)$

• 第三步：展开并求解一元一次方程 展开方程左、右两边： $a_1^2+8a_1+16=a_1^2+6a_1$ 两边同时消去二次项 $a_1^2$： $8a_1+16=6a_1$ 移项合并同类项： $2a_1=-16⟹a_1=-8$

• 第四步：求目标项 $a_2$ 的值 根据等差数列性质， $a_2=a_1+d$： $a_2=-8+2=-6$

综合上述， (B) 选项符合题意。

答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项表达、等比中项性质公式 $b^2=ac$。
2. 核心方法：基本量法（一元化方程法）。
3. 避坑指南：
   • 不要混淆项的位置与求取的未知数。通过方程算出来的结果是 $-8$，这是首项 $a_1$ 的值。题干要求的是 $a_2$ 的值，需要加上公差 2 得到 $-6$。如果不注意极易因思维惯性误选 C 选项。
   • 不要记错等比中项公式。成等比数列的项满足中间项的平方等于两端项的乘积。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考关于“两列”（等差与等比）混合考查的基础选择题。
2. 结论推广: 一般地，若公差为 $d$ 的等差数列中， $a_1,a_m,a_n(1<m<n)$ 成等比数列，利用等比中项展开可得： $[a_1+(m-1)d{]}^2=a_1[a_1+(n-1)d]⟹2(m-1)a_{1}d+(m-1{)}^2{d}^2=(n-1)a_{1}d$，当 $d\ne 0$ 时消去 $d$ 即可一解直达首项公式： $a_1=\frac{(m-1{)}^2}{n-2m+1}d$。本题中 $m=3,n=4,d=2⟹a_1=\frac{(3-1{)}^2}{4-2(3)+1}\times 2=\frac{4}{-1}\times 2=-8$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 1985-广东文-02 填-等比数列的通项