2004-浙江文-17 解-数列通项与等比

本题导读

本题考查数列的前 $n$ 项和与通项的关系。核心在于由 $S_n$ 作差得递推关系，从而求证数列为等比数列。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$S_n=\frac{1}{3}(a_n-1)$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）．

(1) 求 $a_1$，$a_2$；

(2) 求证数列 $\{a_n\}$ 是等比数列.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $n=1$：$S_1=a_1=\frac{1}{3}(a_1-1)$，$a_1=-\frac{1}{2}$。
2. $n=2$：$a_1+a_2=\frac{1}{3}(a_2-1)$，代入得 $a_2=\frac{1}{4}$。
3. $n⩾2$：$a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{1}{3}(a_n-a_{n-1})$，$2a_n=-a_{n-1}$，公比 $-\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

(1) $a_1=-\frac{1}{2}$，$a_2=\frac{1}{4}$

(2) 数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $-\frac{1}{2}$、公比为 $-\frac{1}{2}$ 的等比数列

✍【详细解析】

Abstract

（1）取 $n=1$，由 $S_1=a_1$ 得 $a_1=\frac{1}{3}(a_1-1)$，所以 $a_1=-\frac{1}{2}$.取 $n=2$，有 $a_1+a_2=\frac{1}{3}(a_2-1)$，代入 $a_1=-\frac{1}{2}$ 得 $a_2=\frac{1}{4}$. （2）当 $n⩾2$ 时，将相邻两式相减，得 $S_n-S_{n-1}=a_n=\frac{1}{3}(a_n-a_{n-1})$，因而 $2a_n=-a_{n-1}$，即 $a_n=-\frac{1}{2}{a}_{n-1}$.因此从 $a_1=-\frac{1}{2}$ 出发，数列的每一项都是前一项的 $-\frac{1}{2}$ 倍，所以数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $-\frac{1}{2}$、公比为 $-\frac{1}{2}$ 的等比数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列通项与等比
2. 核心方法：$S_1=a_1=\frac{1}{3}(a_1-1)$ 得 $a_1=-\frac{1}{2}$；$S_2=a_1+a_2=\frac{1}{3}(a_2-1)$ 得 $a_2=\frac{1}{4}$；$n⩾2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{1}{3}(a_n-a_{n-1})$，$2a_n=-a_{n-1}$，即 $a_n=-\frac{1}{2}{a}_{n-1}$，公比 $-\frac{1}{2}$
3. 避坑指南：由 $S_n$ 求通项用 $a_n=S_n-S_{n-1}$（$n⩾2$）；$2a_n=-a_{n-1}$ 移项得 $a_n=-\frac{1}{2}{a}_{n-1}$，公比是 $-\frac{1}{2}$ 而非 $-2$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于数列的前 $n$ 项和与通项，教材”数列”
2. 结论推广: 一般化：$a_n=S_n-S_{n-1}$（$n⩾2$），求公比证等比；由 $S_n$ 表达式作差得递推关系，验证等比

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-20 解-等差数列通项等比
• 2007-大纲Ⅱ文-17 解-等比数列通项与分类讨论
• 2004-全国卷IV文-18 解-等比数列通项与和