2004-浙江文-05 单-单位圆弧长坐标

本题导读

本题考查单位圆上弧长与圆心角的对应，以及任意角的三角函数。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 点 $P$ 从 $(1,0)$ 出发，沿单位圆 $x^2+y^2=1$ 逆时针方向运动 $\frac{2\pi }{3}$ 弧长到达 $Q$ 点，则 $Q$ 的坐标为()

A. $\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$　　B. $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)$　　C. $\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$　　D. $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 单位圆半径 $1$，弧长 $\frac{2\pi }{3}$ 对应圆心角 $\frac{2\pi }{3}$ 弧度。
2. $P$ 极角 $0$，逆时针转过 $\frac{2\pi }{3}$。
3. $Q=(\cos \frac{2\pi }{3},\sin \frac{2\pi }{3})=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，选 A。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

单位圆的半径为 $1$，所以弧长 $\frac{2\pi }{3}$ 所对的圆心角为 $\frac{2\pi }{3}$ 弧度。点 $P$ 的极角为 $0$，逆时针转过该角后，点 $Q$ 的坐标为 $\left(\cos \frac{2\pi }{3},\sin \frac{2\pi }{3}\right)=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：单位圆弧长坐标
2. 核心方法：单位圆半径 $1$，弧长 $\frac{2\pi }{3}$ 对应圆心角 $\frac{2\pi }{3}$；$P$ 极角 $0$，$Q=(\cos \frac{2\pi }{3},\sin \frac{2\pi }{3})=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$
3. 避坑指南：单位圆上弧长数值等于圆心角弧度；逆时针转角为正，$\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ 别取成正号

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于单位圆与弧长，教材”三角函数”
2. 结论推广: 一般化：单位圆上弧长 $s$ 对应圆心角 $s$ 弧度，点坐标 $(\cos s,\sin s)$；把弧长化为圆心角，再写终边坐标

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.01 弧度制与扇形度量

类题演练 (Links)

• 2008-新课标Ⅰ文-20 解-直线与圆弧长分割
• 2009-福建卷文-14 填-几何概型弧长