2004-浙江文-03 单-等差等比中项

本题导读

本题考查等差数列的基本量，以及等比中项的条件。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $2$，若 $a_1,a_3,a_4$ 成等比数列，则 $a_2=$()

A. $-4$　　　　　　B. $-6$　　　　　　C. $-8$　　　　　　D. $-10$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $a_1=x$，则 $a_3=x+4$，$a_4=x+6$。
2. 成等比：$(x+4{)}^2=x(x+6)$。
3. 解得 $x=-8$，$a_2=a_1+2=-6$，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设 $a_1=x$，则 $a_3=x+4$，$a_4=x+6$.由于 $a_1,a_3,a_4$ 成等比数列，有 $(x+4{)}^2=x(x+6)$，即 $x^2+8x+16=x^2+6x$，解得 $x=-8$.因此 $a_2=a_1+2=-6$，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差等比中项
2. 核心方法：设 $a_1=x$，则 $a_3=x+4$，$a_4=x+6$；由 $a_1,a_3,a_4$ 成等比有 $(x+4{)}^2=x(x+6)$，得 $x=-8$，故 $a_2=a_1+2=-6$
3. 避坑指南：等比中项 $a_3^2=a_1{a}_4$ 列方程；公差 $2$ 要落到 $a_2=a_1+2$，勿把 $a_2$ 当成 $a_1$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于等差、等比数列的基本量，教材”数列”
2. 结论推广: 一般化：等比中项 $b^2=ac$，等差中项 $2b=a+c$；设首项为未知数，用”成等比”列方程，再回代求指定项

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-03 单-等差等比中项
• 2007-大纲Ⅰ文-16 填-等比数列基本量运算
• 2008-大纲Ⅰ文-07 单-等比数列基本量