2004-江苏卷-12 单-函数的单调性与值域

本题导读

本题考查函数的单调性与值域，以及奇函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 设函数 $f(x)=-\frac{x}{1+|x|}(x\in \mathbf{R})$，区间 $M=[a,b](a<b)$，集合 $N=\{y|y=f(x),x\in M\}$，则使 $M=N$ 成立的实数对 $(a,b)$ 有 ()

A. 0 个　　　　　B. 1 个　　　　　C. 2 个　　　　　D. 无数多个

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $f(x)$ 的性质：
   • 奇偶性： $f(-x)=-\frac{-x}{1+|-x|}=\frac{x}{1+|x|}=-f(x)$，故 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，图象关于原点对称。
   • 单调性：当 $x\ge 0$ 时， $f(x)=-\frac{x}{1+x}=-1+\frac{1}{1+x}$，随 $x$ 增大而减小，故 $f(x)$ 单调递减。奇函数在对称区间上单调性相同，故 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格单调递减。
2. 把集合相等 $M=N$ 转化为边界方程：
   • $N$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的值域。因 $f(x)$ 严格递减，左端点 $a$ 对应最大值 $f(a)$，右端点 $b$ 对应最小值 $f(b)$，故 $N=[f(b),f(a)]$。
   • 由 $M=N$ 得 $[a,b]=[f(b),f(a)]$，即： $\{\begin{array}{l}f(b)=a\\ f(a)=b\end{array}$
3. 解方程组判定实数对个数：利用奇函数性质与单调性，探究方程组在 $a<b$ 下是否有解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

• 判断 $f(x)$ 的奇偶性与单调性 已知： $f(x)=-\frac{x}{1+|x|}(x\in \mathbf{R})\text{（式1）}$

  1. 奇偶性：对自变量取相反数： $f(-x)=-\frac{-x}{1+|-x|}=\frac{x}{1+|x|}=-f(x)$ 故 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，图象关于原点中心对称。
  2. 单调性：去掉绝对值分域讨论：
     • 当 $x\ge 0$ 时， $|x|=x$，对（式1）分离常数： $f(x)=-\frac{x}{1+x}=\frac{-(1+x)+1}{1+x}=-1+\frac{1}{1+x}\text{（式2）}$ 在 $[0,+\infty )$ 上，$x$ 增大则 $1+x$ 增大、$\frac{1}{1+x}$ 减小，故 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上严格单调递减。
     • 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，故 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上同样严格单调递减。

  综上，$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格单调递减。

• 利用值域性质把集合相等转化为方程组 已知 $M=[a,b](a<b)$，$N$ 是 $f(x)$ 在 $M$ 上的值域。 因 $f(x)$ 严格递减，左端点对应最大值、右端点对应最小值： $\text{最大值 }{y}_{\text{max}}=f(a),\text{最小值 }{y}_{\text{min}}=f(b)$ 故值域为： $N=[f(b),f(a)]\text{（式3）}$

  由 $M=N$，即 $[a,b]=[f(b),f(a)]$，区间相等即左右端点分别相等，得： $\{\begin{array}{ll}f(b)=a& \text{（方程1）}\\ f(a)=b& \text{（方程2）}\end{array}$

• 解方程组并确定实数对个数 先看对称解的情形。因 $f(x)$ 是奇函数，令 $a=-b(b>0)$，代入（方程1） $f(b)=a$： $f(b)=-b\text{（式6）}$ 因 $b>0$，$|b|=b$，代入（式1）的解析式： $-\frac{b}{1+b}=-b$ 两边同除以 $-b\ne 0$： $\frac{1}{1+b}=1⟹1=1+b⟹b=0$ 这与 $b>0$（由 $a<b$ 及 $a=-b$ 得 $2b>0$）矛盾，故不存在 $a=-b$ 的对称解。

  一般地，由（方程2）得 $b=f(a)$，代入（方程1）得： $f(f(a))=a\text{（式7）}$

  因 $f(x)$ 严格递减，设 $x_1<x_2$，则 $f(x_1)>f(x_2)$，进而 $f(f(x_1))<f(f(x_2))$，故 $F(x)=f(f(x))$ 严格递增。 而 $f(f(x))=x$ 的解只能是 $f(x)=x$ 的解，于是（式7）等价于： $f(a)=a\text{（式8）}$ 代回（方程2）得 $b=f(a)=a$，即 $a=b$。 但题目已限定： $a<b\text{（式9）}$

  因此满足（式8）的解均因不满足（式9）而被舍去。该方程组在 $a<b$ 下无解，使 $M=N$ 成立的实数对 $(a,b)$ 有 0 个。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数的单调性；单调递减函数把闭区间 $[a,b]$ 映成 $[f(b),f(a)]$；复合函数 $f(f(x))=x$ 与不动点的关系。
2. 核心方法：单调性分析法、不动点法。
3. 避坑指南：
   • 误以为有 1 个或 2 个解：解出 $f(x)=x⟹x=0$ 后，误认为 $a=0,b=0$ 是一个解而错选 B。但闭区间 $[a,b]$ 要求 $a<b$，若 $a=b=0$，区间退化为单点集 $\{0\}$，与 $a<b$ 矛盾，应舍去，故为 0 个。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查函数、方程与集合的交汇，属压轴思考题。
2. 结论推广: 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递减，则其值域为 $[f(b),f(a)]$；单调递增函数的值域为 $[f(a),f(b)]$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-30 填-函数的值域