2004-江苏卷-11 单-反函数

本题导读

本题考查反函数的概念与几何性质，以及函数图象与坐标轴的交点。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 设 $k>1$, $f(x)=k(x-1)(x\in \mathbf{R})$.在平面直角坐标系 $xOy$ 中，函数 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 点，它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象与 $y$ 轴交于 $B$ 点，并且这两个函数的图象交于 $P$ 点.已知四边形 $OAPB$ 的面积是 3，则 $k$ 等于 ()

A. 3　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. $\frac{4}{3}$　　　　　　　D. $\frac{6}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（确定点 $A$ 和点 $B$ 的坐标）：
   • 已知 $l_1:y=k(x-1)$。令 $y=0⟹k(x-1)=0$，因 $k>1$，得 $x=1$。由此锁定 $A(1,0)$。
   • 根据反函数的几何性质，原函数与 $x$ 轴的交点 $A(a,0)$，其反函数与 $y$ 轴的交点 $B$ 必然满足横纵坐标镜像对称互换，即 $B(0,a)$。由此直接锁定 $B(0,1)$。
2. 第二步逻辑（锁定交点 $P$ 的特殊分布）：由于原函数 $y=f(x)$ 与反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的几何图象关于一象限角平分线 $y=x$ 严格对称，因此它们的交点 $P(x_P,y_P)$ 必然落在对称轴 $y=x$ 上，即恒满足 $y_P=x_P$。将 $y=x$ 代入原函数中，联立解出点 $P$ 的具体坐标（用含 $k$ 的代数式表征）。
3. 第三步逻辑（不规则四边形的对称割补）：四边形 $OAPB$ 沿对角线 $OP$（直线 $y=x$）折叠可以完美重合。因此，四边形面积可以一分为二，等价于 2 倍的 $△OAP$ 的面积。
4. 第四步逻辑（面积方程求参数）：以 $OA$ 为底（底长为 1），点 $P$ 的纵坐标 $y_P$ 即为该三角形的高。利用 $S_{OAPB}=2S_{△OAP}=2\times \left(\frac{1}{2}\times OA\times y_P\right)=y_P=3$，建立关于 $k$ 的分式方程，求出最终结果。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 求解边界交点 $A$ 与 $B$ 的精简坐标： 已知原函数直线方程为： $y=k(x-1)\text{（式1）}$ 令（式1）中的 $y=0$，由于已知参数条件 $k>1\ne 0$，方程两边同除以 $k$： $x-1=0⟹x=1\text{（式2）}$ 从而确定原函数与 $x$ 轴的交点 $A$ 的坐标为： $A(1,0)\text{（式3）}$

  根据反函数几何学基本定理，函数 $y=f(x)$ 的图象与反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 互为镜像对称。 因此，原函数在 $x$ 轴上的截距点 $A(1,0)$，在其反函数空间中必然一一映射为 $y$ 轴上的截距点 $B$。直接对调横纵坐标锁定： $B(0,1)\text{（式4）}$

• 联立求解图象交点 $P$ 的坐标表达式： 由于互为反函数的两条曲线关于一、三象限角平分线 $y=x$ 对称，若它们存在交点 $P$，则该交点必然严格属于对称轴图形。 即点 $P$ 的坐标恒满足代数关系： $y_P=x_P\text{（式5）}$ 将恒等性质（式5） $y=x$ 直接代入原函数方程（式1）中建立联立方程组： $x=k(x-1)⟹x=kx-k\text{（式6）}$ 移项合并同类项以解出 $x$： $kx-x=k⟹(k-1)x=k$ 因为已知 $k>1⟹k-1\ne 0$，两边同时除以系数： $x_P=\frac{k}{k-1}\text{（式7）}$ 代回（式5）中，确定交点 $P$ 的完整坐标为： $P\left(\frac{k}{k-1},\frac{k}{k-1}\right)\text{（式8）}$

• 利用轴对称裂解多边形面积并求解 $k$： 观察四边形 $OAPB$ 的顶角排布。由于点 $O(0,0)$ 和点 $P$ 均在直线 $y=x$ 上，且点 $A(1,0)$ 与点 $B(0,1)$ 关于直线 $y=x$ 严格对称。 根据全等三角形几何量性质，线段 $OP$ 作为对称轴将四边形 $OAPB$ 均分为两个面积完全相等的封闭大三角形： $S四边形OAPB=S△OAP+S△OBP=2S△OAP\text{（式9）}$

  在 $△OAP$ 中：

  • 选择 $x$ 轴上的线段 $OA$ 作为底边，由（式3）可知底边长为： $|OA|=1$；
  • 则该三角形对应的高严格等于顶点 $P$ 的纵坐标绝对值： $h=y_P=\frac{k}{k-1}$。

  代入三角形面积公式中计算 $△OAP$ 的代数度量： $S△OAP=\frac{1}{2}\times |OA|\times y_P=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{k}{k-1}=\frac{k}{2(k-1)}\text{（式10）}$ 将（式10）代回总面积方程（式9）中，并结合已知条件“四边形面积是 3”： $S四边形OAPB=2\times \frac{k}{2(k-1)}=\frac{k}{k-1}=3\text{（式11）}$

  对（式11）的分式方程进行去分母展开： $k=3(k-1)⟹k=3k-3⟹2k=3⟹k=\frac{3}{2}$ 经边界核验， $\frac{3}{2}>1$ 完整符合题干给定参量域。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数对称轴恒等性质原理（交点必在 $y=x$ 上）；对称点坐标互换律（$(a,b)⟺(b,a)$）；平面非规则多边形的轴对称面积裂解。
2. 核心方法：轴对称割补几何法、方程联立消元法。
3. 避坑指南：
   • 切忌去求出反函数的标准解析式 $f^{-1}(x)=\frac{x}{k}+1$ 再搞复杂的四元联立：虽然这样也能算，但会严重拖慢解题速度，且极其容易在多变元字母通分中发生笔误。请牢记反函数几何铁律：凡是在高考中看到求原函数与反函数的交点，99% 属于‘幌子条件’，核心动作无条件第一步直接令 $y=x$ 与原函数联立。这一降维动作能瞬间消去反函数符号，将解析难度直接归零。
   • 在拆分四边形面积时，肉眼观察 $OAPB$ 属于不规则凹/凸四边形，利用其关于对角线 $OP$ 的全等对称性进行 $2$ 倍三角形化简是最简洁的几何捷径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材中“反函数的概念与性质”章后综合压轴题，是考查数形结合思想与解析几何位置关系融合的经典标准化中档母题。
2. 结论推广: 一次函数与其反函数的图象关于直线 $y=x$ 对称。求反函数相关问题，可利用这一对称性把面积、交点等问题转化到原函数上处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-25 单-反函数的图象
• 1984-全国文-02 单-反函数图象的对称性
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断