2004-江苏卷-10 单-导数的四则运算法则

本题导读

本题考查导数的四则运算法则。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 函数 $f(x)=x^3-3x+1$ 在闭区间 $[-3,0]$ 上的最大值、最小值分别是 ()

A. $1,-1$　　　B. $1,-17$　　　C. $3,-17$　　　D. $9,-19$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导与驻点：$f(x)=x^3-3x+1$，求导得 $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。令 $f^{\prime }(x)=0$，得驻点 $x_1=-1,x_2=1$。
2. 筛选有效驻点：区间为 $[-3,0]$，驻点 $x=1$ 在区间外，舍去；只有 $x=-1$ 在区间内部。
   • 当 $x\in [-3,-1)$ 时， $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
   • 当 $x\in (-1,0]$ 时， $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。
   • 故 $x=-1$ 处取得极大值，也是区间内的最大值。
3. 比较端点与极值点：
   • 最大值在极大值点 $f(-1)$ 或端点处产生，由于两侧单调下降，$f(-1)$ 即最大值；
   • 最小值在端点 $f(-3)$ 或 $f(0)$ 处产生，计算比较即可。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

• 求导并确定有效驻点 已知： $f(x)=x^3-3x+1\text{（式1）}$ 求导： $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)\text{（式2）}$ 令 $f^{\prime }(x)=0$，得驻点： $x_1=-1,x_2=1$

  题目限定区间为 $x\in [-3,0]$，驻点 $x_2=1\notin [-3,0]$，舍去。 有效驻点为： $x_1=-1\in (-3,0)\text{（式3）}$

• 分析单调性确定最值候选点 由（式2）判断 $f^{\prime }(x)$ 在 $[-3,0]$ 上的符号：

  • 当 $x\in [-3,-1)$ 时， $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
  • 当 $x\in (-1,0]$ 时， $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。

  故 $x=-1$ 处取得极大值，也是闭区间上的最大值： $M_{\text{max}}=f(-1)=(-1{)}^3-3\times (-1)+1=-1+3+1=3\text{（式4）}$

• 比较端点值求最小值 由于函数在极大值点两侧单调下降，最小值在区间端点处取得。计算两端点函数值：

  • 右端点： $f(0)=0^3-3\times 0+1=1$
  • 左端点： $f(-3)=(-3{)}^3-3\times (-3)+1=-27+9+1=-17$

  由 $-17<1$，闭区间上的最小值为： $M_{\text{min}}=f(-3)=-17\text{（式5）}$

• 结论 由（式4）与（式5），最大值与最小值分别为 $3$ 和 $-17$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多项式函数求导；利用导数判断极大值；闭区间上连续函数的最值求法。
2. 核心方法：驻点与端点比较法。
3. 避坑指南：
   • 误以为最小值在右端点 0 处取得：只比较 $f(-1)=3$ 与 $f(0)=1$，会误选”最大最小是 3 和 1”。左端点 $-3$ 处的值 $-17$ 才是最小值。闭区间最值只在区间内部的有效驻点与两个端点处取得，须把这三处的值都算出来比较。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查导数在研究函数中的应用，属闭区间最值的常规题。
2. 结论推广: 求闭区间 $[m,n]$ 上连续函数 $f(x)$ 的最值，先求 $f^{\prime }(x)=0$ 在区间内的根，再比较这些点与两个端点的函数值，最大者为最大值、最小者为最小值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1977-辽宁-12 解-圆柱用料最省
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性