2004-江苏卷-07 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） $(2x+\sqrt{x}{)}^4$ 的展开式中 $x^3$ 的系数是 ()

A. 6　　　　　　　B. 12　　　　　　　C. 24　　　　　　　D. 48

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（项的分数指数化）：将二项式内部的第二项进行改写，把根式 $\sqrt{x}$ 统一有理化为分数指数幂形式，即 $x^{1/2}$。由此原二项式变为 $(2x+x^{1/2}{)}^4$。
2. 第二步逻辑（写出通项公式）：利用标准的二项展开式通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，代入本题参数 $n=4,a=2x,b=x^{1/2}$。将常数系数与自变量 $x$ 的指数项进行分离并合并。
3. 第三步逻辑（通过特定指数锁定项数 $r$）：目标项为 $x^3$，令通项公式中 $x$ 的总指数代数式严格等于 3，建立一元一次方程求解出对应的离散步长项数 $r$。
4. 第四步逻辑（代入求系数值）：将解出的 $r$ 值代回通项公式的常数项系数部分，进行算术计算输出最终结果。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

• 统一有理数幂并写出二项展开式通项公式： 将原二项式中的根式项 $\sqrt{x}$ 统一改写为分数指数幂形式： $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$。 则原式等价变形为： ${\left(2x+x^{\frac{1}{2}}\right)}^4$。

  根据二项式定理，写出其展开式的第 $r+1$ 项通项公式 $T_{r+1}$（其中 $0\le r\le 4,r\in \mathbf{N}$）： $T_{r+1}={\text{C}}_4^r\cdot (2x{)}^{4-r}\cdot {\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^r\text{（式1）}$ 运用幂的乘方与同底数幂乘法运算法则，将（式1）中的常数系数与自变量 $x$ 分离归类： $T_{r+1}={\text{C}}_4^r\cdot 2^{4-r}\cdot x^{4-r}\cdot x^{\frac{1}{2}r}$ $T_{r+1}={\text{C}}_4^r\cdot 2^{4-r}\cdot x^{4-r+\frac{1}{2}r}={\text{C}}_4^r\cdot 2^{4-r}\cdot x^{4-\frac{1}{2}r}\text{（式2）}$

• 利用特征指标锁定未知项数 $r$： 题目要求求解展开式中包含 $x^3$ 项的系数。 令（式2）中 $x$ 的总指数等于 3，建立方程： $4-\frac{1}{2}r=3\text{（式3）}$ 移项化简（式3）的一元一次方程： $\frac{1}{2}r=4-3⟹\frac{1}{2}r=1⟹r=2\text{（式4）}$ 经核验， $r=2$ 属于闭区间 $[0,4]$ 内的有效正整数，此项为展开式的第 3 项（即 $T_3$）。

• 计算代数系数： 将 $r=2$（式4）代回（式2）的常数系数项中进行算术求值： $\text{系数}={\text{C}}_4^2\cdot 2^{4-2}={\text{C}}_4^2\cdot 2^2\text{（式5）}$ 展开组合数与幂运算： ${\text{C}}_4^2=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6$ $2^2=4$ 代回（式5）乘积项中： $\text{系数}=6\times 4=24$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开式通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的完整书写；底数带有常数系数（如 $2x$）时的幂次分配律；指数分式方程的求解。
2. 核心方法：通项公式方程法。
3. 避坑指南：
   • 极其容易漏掉第一项中的常数底数系数 2 对应的幂次 $(2{)}^{4-r}$：很多学生由于粗心，直接将通项公式写成 ${\text{C}}_4^r{x}^{4-r}(\sqrt{x}{)}^r$，从而把前面的系数 2 漏算或者算错，导致算出结果为 6 误选了 A。请牢记二项式拆分铁律：凡是看到项中带有常数系数（如 $2x,-3y$），在写通项公式时，必须无条件加括号整体带入，即 $(2x{)}^{4-r}=2^{4-r}\cdot x^{4-r}$，把纯数字系数整体提到组合数后面优先独立合并，以防笔误漏算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材“二项式定理”章节关于“求展开式特定项系数”的课后基础填空/选择母题，是高考考查初等代数基本功的必考低档得分题。
2. 结论推广: 一般地，对于广义二项式 ${\left(A{x}^{\alpha }+B{x}^{\beta }\right)}^n$ 的代数展开图形，其第 $r+1$ 项的通用代数项结构被严格锁死为： $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{A}^{n-r}{B}^r{x}^{\alpha n-(\alpha -\beta )r}$。为了求解任意指定幂次 $x^m$ 的系数，其离散项数步长控制恒等性质方程由下式唯一给出： $r=\frac{\alpha n-m}{\alpha -\beta }$。若求得的 $r$ 满足 $r\in \mathbf{N}$ 且 $r\le n$，则该项存在，其精确系数值通过直接代入运算群 ${\text{C}}_n^r{A}^{n-r}{B}^r$ 中输出。该整除卡位技术在高等数学的**计算机代数系统（Computer Algebra Systems）**自动符号展开算法中构成了多项式频域规约的最底层基础核心。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷(理)-07 单-二项式定理
• 2013-安徽卷理-11 填-二项式通项
• 2015-上海卷理-11 填-二项式定理