2004-江苏卷-05 单-抛物线与准线方程

本题导读

本题考查双曲线离心率的定义及计算。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 若双曲线 $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的一条准线与抛物线 $y^2=8x$ 的准线重合，则双曲线离心率为 ()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. $4\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 第一步逻辑（求抛物线准线）：已知抛物线方程为 $y^2=8x$。对比标准方程 $y^2=2px$，求出特征参量 $2p=8⟹p=4⟹\frac{p}{2}=2$。由于焦点在 $x$ 轴正半轴，其对应的准线方程为垂直于 $x$ 轴的直线 $x=-\frac{p}{2}=-2$。
2. 第二步逻辑（求双曲线准线）：已知双曲线方程为 $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{b^2}=1$，焦点位于 $x$ 轴上。读出实轴参数平方 $a^2=8⟹a=2\sqrt{2}$。双曲线关于 $y$ 轴对称，其拥有的左右两条准线方程为 $x=\pm \frac{a^2}{c}$。
3. 第三步逻辑（等式关联求离心率）：由题意“一条准线重合”可知，双曲线的左准线 $x=-\frac{a^2}{c}$ 必然与抛物线准线 $x=-2$ 完整重合。由此建立代数方程 $-\frac{a^2}{c}=-2$，代入 $a^2=8$ 求出半焦距 $c$ 的具体值。最后根据离心率基本定义 $e=\frac{c}{a}$ 计算出最终结果。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

• 求解抛物线 $y^2=8x$ 的准线方程： 已知抛物线标准方程形式为 $y^2=2px$。 对比已知条件方程 $y^2=8x$，可得： $2p=8⟹p=4⟹\frac{p}{2}=2\text{（式1）}$

  因为该抛物线开口向右，其焦半径准线分布于其对称原点的左侧。 由（式1）可得其准线几何直线方程为： $x=-\frac{p}{2}=-2\text{（式2）}$

• 求解双曲线的准线代数表达式： 已知双曲线方程为： $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{b^2}=1\text{（式3）}$ 由标准形式 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 可直接读出： $a^2=8⟹a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\text{（式4）}$

  因为双曲线焦点位于 $x$ 轴上，其对应的左右两条对称准线方程为： $x=\pm \frac{a^2}{c}\text{（式5）}$

• 利用“准线重合”约束求解离心率 $e$： 由于抛物线的准线（式2）位于负半轴（$x=-2$），根据题意，双曲线与其重合的一等只能是位于左侧的负准线（式5中取负号）。 建立恒等性质方程： $-\frac{a^2}{c}=-2⟹\frac{a^2}{c}=2\text{（式6）}$ 将（式4）中的 $a^2=8$ 代入（式6）的代数式中求解半焦距 $c$： $\frac{8}{c}=2⟹c=\frac{8}{2}=4\text{（式7）}$

  根据圆锥曲线几何性质，双曲线离心率 $e$ 的代数定义式为： $e=\frac{c}{a}\text{（式8）}$ 将已求得的参数 $a=2\sqrt{2}$（式4）和 $c=4$（式7）代入（式8）的定义式中计算： $e=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线准线公式 $x=-\frac{p}{2}$ 的应用；双曲线准线公式 $x=\pm \frac{a^2}{c}$ 及其与长短轴参数的对应关系；离心率 $e=\frac{c}{a}$ 的计算。
2. 核心方法：几何要素等价映射法。
3. 避坑指南：
   • 在计算抛物线准线时极其容易误将准线记为 $x=-4$：误把参数 $2p=8$ 当成了 $p=8$ 或是直接将 $p=4$ 当成 $\frac{p}{2}$。请牢记圆锥曲线基础铁律：看到抛物线 $y^2=2px$，第一步在草稿纸上强行写出 $2p=\text{常数}$，顺次求出 $p$ 再减半，从而确保 $\frac{p}{2}$ 绝对不翻车。
   • 双曲线的准线公式是 $\frac{a^2}{c}$，容易和椭圆或双曲线的渐近线公式发生记忆混淆。利用离信率的倒数关系 $x=\pm \frac{a}{e}=\pm \frac{a^2}{c}$ 辅助记忆可以杜绝此低级错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材解析几何中“双曲线与抛物线的简单几何性质”章末章后复习题，是历年高考考查多种圆锥曲线联合交织性质的最标准高频经典低档题。
2. 结论推广: 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的准线为 $x=\pm \frac{a^2}{c}$，抛物线 $y^2=2px$ 的准线为 $x=-\frac{p}{2}$。若两准线重合，则 $\frac{a^2}{c}=\frac{p}{2}$，从而离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2a}{p}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-山西-07 解-抛物线的标准方程
• 2008-浙江文-08 单-双曲线离心率
• 1986-全国文-16 填-双曲线的标准方程