2004-江苏卷-03 单-排列组合的基本原理

本题导读

本题考查排列组合的基本原理，以及组合数公式的计算。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ()

A. 140 种　　　　B. 120 种　　　　C. 35 种　　　　D. 34 种

🔍【思路分析】

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1. 第一步逻辑（求全集总数）：总人数由 4 名男生和 3 名女生构成，共计 $4+3=7$ 人。从中任意选出 4 人的组合总数可由组合数公式直接算出，即 ${\text{C}}_7^4={\text{C}}_7^3$。
2. 第二步逻辑（寻找对立面）：限制条件是“这 4 人中必须既有男生又有女生”。其对立面（即不符合要求的极端选法）包括以下两种情况：
   • 情况一：选出的 4 人全部是男生；
   • 情况二：选出的 4 人全部是女生。
3. 第三步逻辑（计算排除）：
   • 全部是男生的选法是从 4 名男生中选 4 人，即 ${\text{C}}_4^4=1$ 种。
   • 全部是女生的选法是从 3 名女生中选 4 人，由于女生总数不足 4 人，此种情况概率度量为 0（即 0 种）。
   • 用总选法数减去不合法的选法数即可得到最终结果。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

• 方法一：间接排除法（推荐）：
  1. 计算无约束条件下的任意选法总数： 总人数为 $4+3=7$ 人，从中任选 4 人的组合数为： $N_{\text{总}}={\text{C}}_7^4={\text{C}}_7^3=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35\text{ 种}\text{（式1）}$
  2. 计算不满足限制条件的极端选法数（全男或全女）：
     • 选出的 4 人全部为男生：从 4 名男生中任意选 4 人，组合数为： $N_{\text{全男}}={\text{C}}_4^4=1\text{ 种}\text{（式2）}$
     • 选出的 4 人全部为女生：从 3 名女生中任意选 4 人，因为 $3<4$，此事件为不可能事件： $N_{\text{全女}}=0\text{ 种}\text{（式3）}$
  3. 利用补集思想做差求解： 用总选法数（式1）减去不合法的全男选法数（式2）： $N=N_{\text{总}}-N_{\text{全男}}=35-1=34\text{ 种}$
• 方法二：直接分类讨论法： 根据“必须既有男生又有女生”的要求，将选出的 4 人按男女人数比例进行完整分类：
  • 第一类：3 男 1 女：从 4 名男生中选 3 人，同时从 3 名女生中选 1 人： $N_1={\text{C}}_4^3\times {\text{C}}_3^1=4\times 3=12\text{ 种}\text{（式4）}$
  • 第二类：2 男 2 女：从 4 名男生中选 2 人，同时从 3 名女生中选 2 人： $N_2={\text{C}}_4^2\times {\text{C}}_3^2=\frac{4\times 3}{2\times 1}\times 3=6\times 3=18\text{ 种}\text{（式5）}$
  • 第三类：1 男 3 女：从 4 名男生中选 1 人，同时从 3 名女生中选 3 人： $N_3={\text{C}}_4^1\times {\text{C}}_3^3=4\times 1=4\text{ 种}\text{（式6）}$
  根据加法原理，将上述三种互斥情形的选法数求和： $N=N_1+N_2+N_3=12+18+4=34\text{ 种}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数公式 ${\text{C}}_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ 的计算；分类加法原理与分步乘法原理的交叉运用；补集排除思想。
2. 核心方法：间接排除法。
3. 避坑指南：
   • 切忌盲目套用公式而忽略实际物理背景的边界限制：在使用间接排除法时，很多学生习惯性地认为排除项包含“全男”和“全女”，从而直接写下 ${\text{C}}_7^4-{\text{C}}_4^4-{\text{C}}_3^4$。虽然 ${\text{C}}_3^4$ 在代数意义上无解（计为 0），但如果在思维中误认为 ${\text{C}}_3^4=1$ 或者是将其遗漏，容易导致逻辑混乱。
   • 本题直接法分类也仅有 3 种情形，计算量同样很小。在考场上如果对补集法不放心，可以用直接法和间接法双向核验，确保万无一失。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材排列组合章节关于“组合应用题”的经典基础例题，属于高考考查有限样本空间计数的最标准高频低档题。
2. 结论推广: 一般地，设集合中含有 $M$ 个甲类元素和 $N$ 个乙类元素（总数 $M+N$）。从中无放回地任意抽取 $k$ 个元素。根据组合数学，其取得的所有可能样本中“既有甲类又有乙类”的完整度量由以下公式确定： $W={\text{C}}_{M+N}^k-{\text{C}}_M^k-{\text{C}}_N^k$ （其中当上标大于下标时，对应组合数定义为 0）。该模型在概率论中属于**超几何分布（Hypergeometric Distribution）**的支撑集定义域边界计数，构成了统计质量抽检与盲测实验方案设计的底层算法核心。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 1986-广东文-09 单-分类计数选医疗小组
• 1988-全国卷理-14 单-组合计数