2004-江苏卷-02 单-三角函数的最小正周期

本题导读

本题考查三角函数的最小正周期，以及余弦函数的二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 函数 $y=2{\cos }^{2}x+1(x\in \mathbf{R})$ 的最小正周期为 ()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　　B. $\pi$　　　　　　　　C. $2\pi$　　　　　　　　D. $4\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 降幂化简：解析式含 ${\cos }^{2}x$。由余弦二倍角公式 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$，得降幂公式 $2{\cos }^{2}x=\cos 2x+1$，代入原式化简。
2. 求周期：化简后为 $y=\cos 2x+2$，自变量 $x$ 的系数 $\omega =2$，用公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 求周期。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 用二倍角公式降幂 原函数为： $y=2{\cos }^{2}x+1\text{（式1）}$ 由余弦二倍角公式的变形（降幂公式）： $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x\text{（式2）}$ 代入（式1）： $y=(1+\cos 2x)+1$ 合并常数项： $y=\cos 2x+2\text{（式3）}$

• 求最小正周期 （式3）中自变量 $x$ 的系数为： $\omega =2$ 由正弦、余弦函数的最小正周期公式： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 代入 $\omega =2$： $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：降幂公式 $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$；周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。
2. 核心方法：降幂公式法。
3. 避坑指南：
   • 误以为周期是 $2\pi$：看到 $\cos x$ 就习惯性认为周期是 $2\pi$，忽略了平方项对频率的影响。降幂后 $x$ 的系数变为 2，周期应为 $\pi$。
   • 降幂后常数项与振幅虽然改变，但决定周期的只是 $x$ 的系数 $\omega$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查三角函数的图象与性质中的周期性判定，属基础题。
2. 结论推广: $y=a{\cos }^{2}x+b{\sin }^{2}x+c$ 可用降幂公式化为 $y=\frac{a-b}{2}\cos 2x+\frac{a+b}{2}+c$，其最小正周期为 $\pi$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-09 填-三角函数的周期
• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 1985-广东文-10 填-正弦函数的最小正周期