2004-广东卷理-15 填-几何类比推理

本题导读

本题考查几何类比推理，以及三棱锥的体积公式。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 由图 (1) 有面积关系： $\frac{S_{△P{A}^{\prime }{B}^{\prime }}}{S_{△PAB}}=\frac{P{A}^{\prime }\cdot P{B}^{\prime }}{PA\cdot PB}$，则由图 (2) 有体积关系： $\frac{V_{P-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{V_{P-ABC}}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：分析平面图形图 (1) 的代数结构。 $△PAB$ 与 $△P{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ 共享同一个公共角 $\angle P$。根据三角形的面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin \theta$，两三角形面积比为 $\frac{\frac{1}{2}P{A}^{\prime }\cdot P{B}^{\prime }\cdot \sin \angle P}{\frac{1}{2}PA\cdot PB\cdot \sin \angle P}=\frac{P{A}^{\prime }\cdot P{B}^{\prime }}{PA\cdot PB}$。即：共角三角形的面积比等于两邻边乘积之比。
2. 第二步逻辑：将该规律仿射类比至三维空间图 (2)。三棱锥 $P-ABC$ 与三棱锥 $P-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 共享同一个共顶点的三面角（即由侧棱 $PA,PB,PC$ 所夹的空间角区域）。根据三棱锥（四面体）的体积计算公式，其体积大小由共顶点的三条侧棱长以及它们之间的夹角唯一确定。类比平面几何中分子分母各项因式齐次增加一维的特征，侧棱由 2 条增加为 3 条，乘积项相应从 2 项对偶变为 3 项。

✅【答案】

Success

$\frac{P{A}^{\prime }\cdot P{B}^{\prime }\cdot P{C}^{\prime }}{PA\cdot PB\cdot PC}$

✍【详细解析】

Abstract

• 方法一：严格的几何公式推导证明： 根据三棱锥的体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}\cdot h$，我们将公共点 $P$ 作为底面，选择面 $PAB$ 与面 $P{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ 分别作为两棱锥的侧面基底。 由三面角体积公式（或利用向量外积与内积混合积形式），共顶点 $P$ 的三棱锥体积可表达为： $V_{P-ABC}=\frac{1}{6}PA\cdot PB\cdot PC\cdot \sin \angle APB\cdot \cos \theta$ 其中 $\theta$ 为侧棱 $PC$ 与平面 $PAB$ 所成二面角的特征余角。

  由于点 $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ 分别落在射线 $PA,PB,PC$ 上，三棱锥 $P-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 的对应夹角以及侧棱与平面的垂直投影结构完全一致： $V_{P-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{6}P{A}^{\prime }\cdot P{B}^{\prime }\cdot P{C}^{\prime }\cdot \sin \angle APB\cdot \cos \theta$ 将两体积方程作比值，分子分母无条件约去相同的空间常数项 $\frac{1}{6}\sin \angle APB\cdot \cos \theta$： $\frac{V_{P-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{V_{P-ABC}}=\frac{P{A}^{\prime }\cdot P{B}^{\prime }\cdot P{C}^{\prime }}{PA\cdot PB\cdot PC}$

• 方法二：类比推理对称映射： 观察从二维向三维过渡的拓扑对应元素： $\text{平面 (二维)}⟶\text{空间 (三维)}$ $\text{面积 }S⟶\text{体积 }V$ $\text{共顶点的 }2\text{ 条侧棱 }(PA,PB)⟶\text{共顶点的 }3\text{ 条侧棱 }(PA,PB,PC)$

  直接对已知等式的代数结构进行齐次维数平移： $\frac{S_{△P{A}^{\prime }{B}^{\prime }}}{S_{△PAB}}=\frac{P{A}^{\prime }\cdot P{B}^{\prime }}{PA\cdot PB}⟹\frac{V_{P-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{V_{P-ABC}}=\frac{P{A}^{\prime }\cdot P{B}^{\prime }\cdot P{C}^{\prime }}{PA\cdot PB\cdot PC}$

填空题最终答案为： $\frac{P{A}^{\prime }\cdot P{B}^{\prime }\cdot P{C}^{\prime }}{PA\cdot PB\cdot PC}$（或 $\frac{P{A}^{\prime }}{PA}\cdot \frac{P{B}^{\prime }}{PB}\cdot \frac{P{C}^{\prime }}{PC}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：合情推理中的类比推理机制；共顶点多面体体积比例因子的代数齐次性。
2. 核心方法：维数对称类比法。
3. 避坑指南：书写答案时必须严格保持字母的对称性与对应性。分子全部为带撇的特征量 $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$，分母全部为原始特征量 $A,B,C$，字母顺序需完全对齐，防止产生无谓的笔误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学大纲版“常用逻辑用语与合情推理”章节关于平面几何向立体几何类比的标配经典示范例题。
2. 结论推广: 平面内三角形面积的比可类比到空间：若两个三棱锥共顶点且对应棱共线，则其体积之比等于三条对应棱长之比的乘积。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 21.01 空间向量及其运算
• 26.01 合情推理与演绎推理

类题演练 (Links)

• 1958-安徽-04 解-三棱锥中截面新锥体积
• 1987-全国文-18 解-三棱锥的体积
• 1987-广东文-06 单-圆锥的体积