2004-广东卷理-14 填-纯虚数

本题导读

本题考查纯虚数的数学定义，以及复数的代数代入与展开运算。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 已知复数 $z$ 与 $(z+2{)}^2-8\text{i}$ 均是纯虚数，则 $z=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：根据复数 $z$ 是纯虚数的前置条件，可以无条件将复数 $z$ 设为标准的代数形式： $z=yi$，其中 $y\in \mathbf{R}$ 且满足虚部约束 $y\ne 0$。
2. 第二步逻辑：将 $z=yi$ 整体代入目标式 $(z+2{)}^2-8\text{i}$ 中进行代数展开。展开后，利用 $i^2=-1$ 将其重新整理并分离出标准的实部与虚部分量： $\text{Re}+\text{Im}\cdot i$。
3. 第三步逻辑：因为该目标多项式同样是纯虚数，根据定义，令其整理后的实部表达式严格等于 0 建立方程，解出 $y$ 的确定值（同时核验其虚部不为 0），最终写出复数 $z$。

✅【答案】

Success

$-2\text{i}$

✍【详细解析】

Abstract

• 由纯虚数定义设定参数方程： 因为复数 $z$ 是纯虚数，可设： $z=yi\text{（其中 }y\in \mathbf{R},y\ne 0\text{）}\text{（式1）}$

• 将参数代入第二多项式并展开化简： 将（式1）代入复合复数式 $(z+2{)}^2-8\text{i}$ 中： $\begin{array}{rl}(yi+2{)}^2-8\text{i}& =(2+yi{)}^2-8\text{i}\\ & =2^2+2\times 2\times (yi)+(yi{)}^2-8\text{i}\end{array}$ 代入复数基本恒等式 ${\text{i}}^2=-1$，继续展开： $\begin{array}{rl}(yi+2{)}^2-8\text{i}& =4+4yi-y^2-8\text{i}\end{array}$ 将不含 $\text{i}$ 的项与含 $\text{i}$ 的项分别归类合并，分离出该复数的实部与虚部： $(z+2{)}^2-8\text{i}=\left(4-y^2\right)+(4y-8)\text{i}\text{（式2）}$

• 利用纯虚数特征求解唯一解： 已知（式2）表达的复数同样是一个纯虚数。根据纯虚数的充要条件，其实部必须严格为 0，且虚部绝不能为 0： $\{\begin{array}{l}4-y^2=0\\ 4y-8\ne 0\end{array}$ 解第一个平方根方程得 $y^2=4⟹y=2$ 或 $y=-2$。 解第二个不等式约束得 $4y\ne 8⟹y\ne 2$。

  综合联立条件，唯一合法的实数解为： $y=-2$ (注：此时虚部为 $4(-2)-8=-16\ne 0$，且满足前置条件 $y\ne 0$，解合法)。

  将 $y=-2$ 代回（式1）的复数设定式中： $z=-2\text{i}$

填空题最终答案为： $-2\text{i}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：纯虚数的双重判定条件（$\text{Re}(z)=0\wedge \text{Im}(z)\ne 0$）；复数乘法完全平方公式的分量展开基本功。
2. 核心方法：实部虚部分离代数法。
3. 避坑指南：
   • 严重遗漏纯虚数虚部不为 0 的限制而导致多解：在解得 $y=\pm 2$ 时，很多学生马虎，直接把 $2\text{i}$ 和 $-2\text{i}$ 一并填入答案。请注意：如果 $y=2$，代回虚部算得 $4(2)-8=0$，此时整个复数蜕变成了实数 0！而 0 绝不是纯虚数。 必须通过第二行不等式消去 $y=2$ 的伪根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材复数代数运算章节的经典填空题，是高考中考查复数概念理解的标配常规题。
2. 结论推广: 一般地，设复数 $z=yi$ 为纯虚数 ($y\ne 0$)，则形如 $W=(z+\alpha {)}^2+\beta \text{i}$ ($\alpha ,\beta \in \mathbf{R},\alpha \ne 0$) 同样为纯虚数的解析轨道恒满足如下性质：其对应的复数虚部标量 $y$ 唯一由实部零点方程 ${\alpha }^2-y^2=0⟹y=\pm \alpha$ 与虚部非零约束 $2\alpha y+\beta \ne 0⟹y\ne -\frac{\beta }{2\alpha }$ 进行联合剪裁确定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-12 填-复数的运算
• 1989-上海-15 单-充分必要条件
• 1980-全国文-01 解-复数的除法化简