2004-广东卷理-13 填-古典概型及其概率计算公式

本题导读

本题考查古典概型及其概率计算公式，以及排列与组合的计数原理。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成，现从中选出 2 人担任正副班长，其中至少有 1 名女生当选的概率是 $\underline{}$.（用分数作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：计算从总人数中选出 2 人的所有可能样本空间数。班委会总人数为 $4+3=7$ 人，随机选出 2 人的基本事件总数为 ${\text{C}}_7^2$。由于选出的 2 人需要分配“正副班长”职务，带有排列顺序（总数为 ${\text{A}}_7^2$），但在计算概率比值时，职务的排列系数在分子分母中可成比例约去，故可直接使用组合数简化计数。
2. 第二步逻辑：利用对立事件简化计算。“至少有 1 名女生当选”的对立事件为“当选的 2 人全部为男生”。从 4 名男生中随机选出 2 人的基本事件数为 ${\text{C}}_4^2$。先算出全是男生的概率，再利用对立事件概率通式 $P=1-P(\bar{A})$ 控算出最终结果。

✅【答案】

Success

$\frac{5}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

• 计算基本事件总数： 班委会的总人数为： $4+3=7$ 人。 从中随机选出 2 人的基本事件总数为： $N={\text{C}}_7^2=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21$

• 计算对立事件（全部为男生）的事件数及概率： 设事件 $A$ 为“至少有 1 名女生当选”，则其对立事件 $\bar{A}$ 表现为“当选的 2 人全部为男生”。 从 4 名男生中随机选出 2 人的事件数为： $m={\text{C}}_4^2=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6$ 根据古典概型概率公式，选出的 2 人全为男生的概率为： $P(\bar{A})=\frac{m}{N}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$

• 利用对立事件公式求目标概率： 根据对立事件的全概率减法通式，目标事件 $A$ 的概率为： $P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}$

填空题最终答案为： $\frac{5}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型中事件总数与目标事件数的组合表示；对立事件概率关系 $P(A)=1-P(\bar{A})$ 的高效应用。
2. 核心方法：对立事件全概率转化法。
3. 避坑指南：
   • 职务干扰项的处理：题干中提到了“担任正副班长”，部分学生会使用排列数计算总数 ${\text{A}}_7^2=42$，全是男生数 ${\text{A}}_4^2=12$。此时目标概率为 $1-\frac{12}{42}=1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}$。两种路径结果完全一致，但在古典概型中，只要选出的成员没有附加其他非齐次的性别限制条件，职务的顺序因子在分子分母中无条件对齐约消，故直接使用组合数 ${\text{C}}_n^m$ 计数可以有效防止乘法笔误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学大纲版排列组合与概率初步章节的典型课后练习题，属于高考中的基础填空题。
2. 结论推广: 一般地，设一个由 $M$ 个正向元素（如男生）与 $N$ 个反向元素（如女生）组成的有限总体，从中无放回地随机抽取 $k$ 个样本（$k\le M$）。则“抽取的样本中至少包含 1 个反向元素”的概率由超几何分布的对立图形唯一确定，其完整的解析通式可直接表示为：$P=1-\frac{{\text{C}}_M^k}{{\text{C}}_{M+N}^k}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 2007-江西文-19 解-独立事件概率
• 2013-湖南卷理-18 解-排列组合的应用