2004-广东卷理-12 单-圆与几何位置特征

本题导读

本题考查本知识点。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 如图，定圆半径为 $a$，圆心为 $(b,c)$，则直线 $ax+by+c=0$ 与直线 $x-y+1=0$ 的交点在 ()

A. 第四象限　　　B. 第三象限　　　C. 第二象限　　　D. 第一象限

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：从圆的图象拓扑中榨取参数范围。
   • 半径 $a$ 显然满足 $a>0$。
   • 圆心 $(b,c)$ 位于第二象限，故横坐标 $b<0$，纵坐标 $c>0$。
   • 仔细观察圆与坐标轴的位置：圆与 $y$ 轴不相交且在左侧，说明圆心到 $y$ 轴的距离 $|b|>a⟹-b>a⟹a+b<0$；圆与 $x$ 轴相交，说明圆心到 $x$ 轴的距离 $|c|<a⟹c<a⟹a-c>0$。
2. 第二步逻辑：求解两条直线的交点。联立方程组 $\{\begin{array}{l}ax+by+c=0\\ x-y+1=0\end{array}$，利用消元法解出交点的横坐标 $x_0=-\frac{b+c}{a+b}$ 与纵坐标 $y_0=\frac{a-c}{a+b}$。
3. 第三步逻辑：根据第一步推导出的参数大小不等式，逐一判断分子与分母的符号，从而锁定 $(x_0,y_0)$ 的正负号，进而确定其所在的象限。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 通过圆的几何图象确定参数的不等式链：

  1. 依题意，定圆的半径为 $a$，显然满足： $a>0$．
  2. 观察图象，圆心 $(b,c)$ 位于直角坐标系的第二象限，因此其坐标分量满足： $b<0,c>0$
  3. 考察圆与 $y$ 轴的相对几何位置：圆的图象完全悬浮在 $y$ 轴的左侧，与 $y$ 轴无任何交点。这意味着圆心到 $y$ 轴的垂直距离（即圆心横坐标的绝对值 $|b|$）必须严格大于圆的半径 $a$： $|b|>a⟹-b>a⟹a+b<0\text{（恒等性质分母）}$
  4. 考察圆与 $x$ 轴的相对几何位置：圆的图象跨越了 $x$ 轴，与 $x$ 轴存在两个相异的交点。这意味着圆心到 $x$ 轴的垂直距离（即圆心纵坐标的绝对值 $|c|$）必须严格小于圆的半径 $a$： $|c|<a⟹c<a⟹a-c>0\text{（式1）}$
  5. 综合条件 $b<-a$ 且 $c<a$，将两不等式相加可得： $b+c<0⟹-(b+c)>0\text{（式2）}$．

• 联立方程组求两直线的交点坐标： 设立交点方程组： $\{\begin{array}{l}ax+by+c=0\text{（直线 1）}\\ x-y+1=0\text{（直线 2）}\end{array}$ 由（直线 2）可得代换式： $y=x+1$。将其整体代入（直线 1）中消去 $y$： $ax+b(x+1)+c=0⟹ax+bx+b+c=0$ 提取公因式合并 $x$ 项： $(a+b)x=-(b+c)$ 由于已证 $a+b<0$ 绝不为 0，两边同时除以 $(a+b)$ 得到交点横坐标 $x_0$： $x_0=-\frac{b+c}{a+b}\text{（式3）}$ 将（式3）代回 $y=x+1$ 中，求出交点纵坐标 $y_0$： $y_0=-\frac{b+c}{a+b}+1=\frac{-(b+c)+(a+b)}{a+b}=\frac{-b-c+a+b}{a+b}=\frac{a-c}{a+b}\text{（式4）}$

• 通过符号律判定交点所在象限：

  1. 判定横坐标 $x_0$ 的符号： 由（式2）知分子满足 $-(b+c)>0$ 为正数；由几何条件知分母满足 $a+b<0$ 为负数。 根据异号相除性质： $x_0=\frac{-(b+c)}{a+b}=\frac{\text{正数}}{\text{负数}}<0$
  2. 判定纵坐标 $y_0$ 的符号： 由（式1）知分子满足 $a-c>0$ 为正数；分母满足 $a+b<0$ 为负数。 根据异号相除性质： $y_0=\frac{a-c}{a+b}=\frac{\text{正数}}{\text{负数}}<0$

  综上所述，交点坐标满足 $x_0<0$ 且 $y_0<0$。根据平面直角坐标系象限的定义，横纵坐标同为负数的点唯一聚焦在第三象限。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由圆与两坐标轴的相交/相离拓扑关系逆推半径与圆心距的代数不等式（圆与直线不相交 $⟺d>R$）；二元一次方程组交点的参变量表达；初等有理分式正负号的综合研判。
2. 核心方法：图象几何特征定量分析法、代数消元法。
3. 避坑指南：
   • 在读图时产生粗心，漏掉隐蔽的不等式约束：绝大多数学生只能看出 $b<0,c>0$，却无法提炼出 $a+b<0$ 和 $a-c>0$ 这两个直接左右交点正负号的至关重要命脉。请记住解析几何看图铁律：凡是看到圆锥曲线与坐标轴相离或相交，必须无条件将其转化为“圆心（或中心）到轴的距离与半径的大小比较”。
   • 在消元化简交点坐标时发生基本的符号符号笔误：在化简 $y_0=-\frac{b+c}{a+b}+1$ 通分时，分子极易看错正负号错写成 $\frac{-b+c+a+b}{a+b}$ 从而导致错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是解析几何一轮复习中用于强化“数形结合（Combining number and shape）”思想的经典压轴选择题，属于中高难度综合辨析题。
2. 结论推广: 判断圆与直线的位置关系，可用圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$ 比较：$d>r$ 相离、$d=r$ 相切、$d<r$ 相交。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 2006-陕西文-05 单-直线与圆相切