2004-广东卷理-11 单-正切函数的图象与单调性

本题导读

本题考查正切函数的图象与单调性，以及三角函数值的大小比较。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 若 $f(x)=\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$，则 ()

A. $f(-1)>f(0)>f(1)$　　　　　　　　B. $f(0)>f(1)>f(-1)$

C. $f(1)>f(0)>f(-1)$　　　　　　　　D. $f(0)>f(-1)>f(1)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求复合角：分别代入 $x=-1,0,1$，得到复合角 $\theta =x+\frac{\pi }{4}$ 的三个值： ${\theta }_{-1}=-1+\frac{\pi }{4}$， ${\theta }_0=\frac{\pi }{4}$， ${\theta }_1=1+\frac{\pi }{4}$。
2. 看间断点：$y=\tan \theta$ 在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调递增。$\frac{\pi }{2}\approx 1.57$，而 ${\theta }_1=1+\frac{\pi }{4}\approx 1+0.785=1.785>1.57$，说明 ${\theta }_1$ 已越过渐近线 $\theta =\frac{\pi }{2}$，落到下一个周期。因此不能直接在同一单调区间内比较，须利用周期 $T=\pi$ 把 ${\theta }_1$ 减去 $\pi$ 化回标准区间，再按单调性排序。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

• 计算各点处的复合角 已知 $f(x)=\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$，分别代入 $x=-1,0,1$：

  • $f(-1)=\tan \left(-1+\frac{\pi }{4}\right)$
  • $f(0)=\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)$
  • $f(1)=\tan \left(1+\frac{\pi }{4}\right)$

• 利用周期性化归到主区间 因为正切函数的最小正周期为 $\pi$，即 $\tan \theta =\tan (\theta -\pi )$。 为把三个角统一到单调区间 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 内，将 $f(1)$ 内部的角减去一个周期 $\pi$： $f(1)=\tan \left(1+\frac{\pi }{4}-\pi \right)=\tan \left(1-\frac{3\pi }{4}\right)$

• 比较主区间内三个角的大小 需比较的三个角为： ${\theta }_A=-1+\frac{\pi }{4},{\theta }_B=\frac{\pi }{4},{\theta }_C=1-\frac{3\pi }{4}$ 代入 $\pi \approx 3.14$ 估算：

  • ${\theta }_A=-1+0.785=-0.215\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$
  • ${\theta }_B=0.785\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$
  • ${\theta }_C=1-2.355=-1.355\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

  在区间 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 内排序： $-1.355<-0.215<0.785⟹1-\frac{3\pi }{4}<-1+\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{4}$

• 利用单调性比较函数值 因为 $y=\tan \theta$ 在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 上严格单调递增，所以自变量越小函数值越小： $\tan \left(1-\frac{3\pi }{4}\right)<\tan \left(-1+\frac{\pi }{4}\right)<\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)$ 代回原函数： $f(1)<f(-1)<f(0)⟹f(0)>f(-1)>f(1)$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正切函数单调区间 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$；正切函数的周期性恒等变形 $\tan \theta =\tan (\theta -\pi )$。
2. 核心方法：周期性化归法、数值比较法。
3. 避坑指南：
   • 误以为 $y=\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 处处单调递增，由 $1>0>-1$ 直接得出 $f(1)>f(0)>f(-1)$，错选 C。正切函数只在单个周期区间内单调，在定义域上不是单调函数。比较正切函数值大小时，须先检查各点之间是否隔有 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 的间断点。本题 ${\theta }_1=1.785>1.57$，已越过渐近线进入下一个周期，其函数值反而最小。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查正切函数不连续性的概念辨析，属易错选择题。
2. 结论推广: 对于形如 $f(x)=\tan (x+\varphi )$ 的多点函数值比较，若某些点越过了 $\frac{\pi }{2}$ 的奇数倍间断点，应先利用周期性把各角化到同一个单调区间内，再按单调性比较。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1988-广东文-18 单-函数的单调性判断