2004-广东卷理-08 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 若双曲线 $2x^2-y^2=k$ ($k>0$) 的焦点到它相对应的准线的距离是 $2$，则 $k=$ ()

A. $6$　　　　　　　B. $8$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：将双曲线方程 $2x^2-y^2=k$ 两边同除以 $k$ ($k>0$)，化为标准方程 $\frac{x^2}{\frac{k}{2}}-\frac{y^2}{k}=1$。由此提取双曲线的基本几何参数： $a^2=\frac{k}{2}$， $b^2=k$，并根据关系式 $c^2=a^2+b^2$ 算出 $c$ 的代数式。
2. 第二步逻辑：根据双曲线的性质，双曲线的右焦点为 $(c,0)$，对应的右准线方程为 $x=\frac{a^2}{c}$。因此，焦点到它相对应的准线的距离公式为 $d=c-\frac{a^2}{c}$。令该距离等于 $2$，代入含 $k$ 的参数式化简求解即可。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

• 化双曲线方程为标准方程： 已知双曲线方程为 $2x^2-y^2=k$，由于 $k>0$，两边同时除以 $k$ 得到： $\frac{x^2}{\frac{k}{2}}-\frac{y^2}{k}=1$ 这是一个焦点在 $x$ 轴上的双曲线，其中特征参数满足： $a^2=\frac{k}{2},b^2=k$ 根据双曲线中 $a,b,c$ 的勾股恒等性质关系 $c^2=a^2+b^2$： $c^2=\frac{k}{2}+k=\frac{3k}{2}⟹c=\sqrt{\frac{3k}{2}}$

• 利用焦点到准线的距离公式建立方程： 双曲线的右焦点为 $F(c,0)$，相对应的右准线方程为 $x=\frac{a^2}{c}$。 则焦点到其相对应的准线的距离为： $d=c-\frac{a^2}{c}=\frac{c^2-a^2}{c}$ 将 $c^2-a^2=b^2$ 代入上式简化可得： $d=\frac{b^2}{c}$ 由题意知该距离 $d=2$，将 $b^2=k$ 和 $c=\sqrt{\frac{3k}{2}}$ 代入建立方程： $\frac{k}{\sqrt{\frac{3k}{2}}}=2$ 方程两边同时平方： $\frac{k^2}{\frac{3k}{2}}=4⟹\frac{2k}{3}=4⟹2k=12⟹k=6$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线标准方程的化归；焦点到同侧准线距离的几何代数通式 $d=c-\frac{a^2}{c}=\frac{b^2}{c}$。
2. 核心方法：公式特征消元法。
3. 避坑指南：
   • 极易在转化为标准方程时，误把 $x^2$ 的分母看成 $2k$ 或者是 $2$。应该把 $2x^2$ 改写为 $\frac{x^2}{1/2}$，故分母为 $\frac{k}{2}$。
   • 双曲线中满足 $c^2=a^2+b^2$，区别于椭圆中的 $a^2=b^2+c^2$，公式混淆会导致后续计算彻底错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材圆锥曲线性质部分的常规课后题，考查学生对圆锥曲线第二定义中基本几何量（焦点、准线）间度量关系的掌握。
2. 结论推广: 一般地，对于焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦点到同侧准线的距离恒满足简单解析式 $d=\frac{b^2}{c}$；而顶点到同侧准线的距离为 $c-a$。这一恒等性质关系在研究圆锥曲线的焦半径性质及偏心率（离心率 $e=\frac{c}{a}$）射影退化时提供了极简的代数转化路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-16 填-双曲线的标准方程
• 1988-广东理-32 解-双曲线的几何性质
• 1989-广东文-15 单-双曲线的方程