2004-广东卷理-05 单-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角恒等变换，以及三角函数的周期性。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 函数 $f(x)={\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)-{\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ 是 ()

A. 周期为 $\pi$ 的偶函数　　　　　　　　　　　B. 周期为 $\pi$ 的奇函数

C. 周期为 $2\pi$ 的偶函数　　　　　　　　　　D. 周期为 $2\pi$ 的奇函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：利用余弦二倍角降幂公式 ${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$，对 $f(x)$ 中的两项平方项分别进行降幂处理，消除二次项，转化为余弦函数。
2. 第二步逻辑：对降幂后的表达式进行通分与化简，运用诱导公式或两角和与差的余弦公式将 $\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$ 与 $\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)$ 展开合并，化简为 $f(x)=\sin 2x$。最后根据基本正弦函数的性质判断奇偶性与周期。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 利用降幂公式化简函数式： 根据二倍角的余弦降幂公式 ${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$，将 ${\theta }_1=x+\frac{\pi }{4}$ 和 ${\theta }_2=x-\frac{\pi }{4}$ 分别代入： $f(x)=\frac{1-\cos 2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)}{2}-\frac{1-\cos 2\left(x-\frac{\pi }{4}\right)}{2}$ $f(x)=\frac{1-\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)}{2}-\frac{1-\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)}{2}$ 合并同类项，消去常数项 $\frac{1}{2}$： $f(x)=\frac{1}{2}\left[\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)-\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)\right]\text{（式1）}$

• 运用诱导公式进一步化简： 根据余弦函数的偶函数性质 $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$，有： $\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)=\sin 2x$ 根据诱导公式 $\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha$，有： $\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin 2x$ 将这两项代回（式1）中： $f(x)=\frac{1}{2}[\sin 2x-(-\sin 2x)]=\frac{1}{2}(2\sin 2x)=\sin 2x$

• 判定周期性与奇偶性： 化简后的标准函数为 $f(x)=\sin 2x$．

  1. 周期性：由正弦型函数 $y=\sin \omega x$ 的周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$，此处 $\omega =2$，故最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$
  2. 奇偶性：因为 $f(-x)=\sin (2(-x))=\sin (-2x)=-\sin 2x=-f(x)$，且定义域为 $\mathbf{R}$ 关于原点对称，故该函数为奇函数。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数降幂公式的应用；诱导公式在三角函数化简中的符号判定；标准正弦型函数奇偶性与周期性的结论直接套用。
2. 核心方法：恒等变换降幂化简法。
3. 避坑指南：
   • 在使用诱导公式对 $\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$ 化简时容易记错符号，导致错算成 $\frac{1}{2}(\sin 2x-\sin 2x)=0$。
   • 也可采用平方差公式因式分解化简： ${\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B=\sin (A+B)\sin (A-B)$。直接代入： $\sin \left[\left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\left(x-\frac{\pi }{4}\right)\right]\cdot \sin \left[\left(x+\frac{\pi }{4}\right)-\left(x-\frac{\pi }{4}\right)\right]=\sin 2x\cdot \sin \frac{\pi }{2}=\sin 2x$，此方法更为高效。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材三角函数性质部分的典型例题，考查学生对三角恒等变换工具的应用熟练度。
2. 结论推广: 一般地，对于形如 $f(x)={\sin }^2(x+\varphi )-{\sin }^2(x-\varphi )$ 的三角差方图形，利用积化和差或平方差恒等性质公式，可以将其完整地齐次化简为：$f(x)=\sin 2\varphi \cdot \sin 2x$。其最小正周期恒为 $\pi$。其奇偶性完全由系数 $\sin 2\varphi$ 的符号与取值锁定：当 $2\varphi \ne k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbb{Z}$) 时，该函数恒为严格的奇函数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 1987-全国文-09 填-三角函数的周期
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性