2004-广东卷理-04 单-数列的求和

本题导读

本题考查数列的求和，以及数列极限的性质与计算。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{n+1}-\frac{2}{n+1}+\frac{3}{n+1}-\cdots +\frac{2n-1}{n+1}-\frac{2n}{n+1}\right)$ 的值为 ()

A. $-1$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：由于括号中所有分式的分母均为相同的恒等性质 $n+1$，可以根据分式的加减运算法则进行同分母合并。化简后的核心在于求解分子多项式 $S=1-2+3-4+\cdots +(2n-1)-2n$ 的凝聚值。
2. 第二步逻辑：分析分子交错多项式的项数特征。总共有 $2n$ 个单项，属于偶数项。可以采用“两两结合”的策略：$(1-2)+(3-4)+\cdots +[(2n-1)-2n]$。每一组的值都恒为 $-1$，共有 $n$ 组，由此直接得出分子的代数式。最后代回原式求 $n\to \infty$ 的有理式极限。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

• 同分母通分合并分子： 设待求极限括号内部的数列和为 $a_n$，将分母统一提取合并： $a_n=\frac{1-2+3-4+\cdots +(2n-1)-2n}{n+1}$

• 分组对偶求和简化分子： 考查分子多项式，总计包含 $2n$ 项，将其以两项为一组进行结合，共可分为 $n$ 组： $\begin{array}{rl}1-2+3-4+\cdots +(2n-1)-2n& =(1-2)+(3-4)+\cdots +[(2n-1)-2n]\\ & =\underset{n\text{ 个 }-1}{\underbrace{(-1)+(-1)+\cdots +(-1)}}\\ & =-n\end{array}$ 将简化后的分子多项式代回原通分式中，可得： $a_n=\frac{-n}{n+1}$

• 求解无穷大处的有理分式极限： 对 $a_n$ 取 $n\to \infty$ 的极限。分子与分母关于 $n$ 的最高次数均为 1 次，直接提取最高次项的系数之比： ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }\frac{-n}{n+1}={\lim }_{n\to \infty }\frac{-1}{1+\frac{1}{n}}=\frac{-1}{1+0}=-1$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：偶数项交错级数有限和的分组求和技术；有理分式在无穷远处的极限简易判定。
2. 核心方法：两两分组结合法。
3. 避坑指南：极易在计算分子的项数和分组数时产生计数笔误。分子最后一项是 $2n$，说明总共有 $2n$ 个数，两两一组后应该有 $n$ 组，故分子和为 $-n$。部分学生容易马虎看成总共 $n$ 项从而算出 $-\frac{n}{2}$，导致错选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自数列求和与极限的经典训练题，考查分组求和与极限运算。
2. 结论推广: 一般地，设分母为形如 $n+\alpha$ 的线性图形，分子为前 $2n$ 项的标准交错自然数运算，则其前 $2n$ 项和的极限恒满足关于分母位移量 $\alpha$ 的恒等性质规律：对于任意实数 $\alpha$，其极限值被唯一确定为常数：${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=1}^{2n}\frac{(-1{)}^{k-1}k}{n+\alpha }=-1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-12 填-数列的极限
• 1987-广东理-30 填-数列的极限
• 1988-广东文-30 填-数列的极限