2004-广东卷理-03 单-函数连续性

本题导读

本题考查函数在某点连续的充要条件，以及分式的通分与因式分解。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3x+2}{x^2-4}-\frac{2}{x-2},& x>2\\ a,& x\le 2\end{array}$ 在 $x=2$ 处连续，则 $a=$ ()

A. $-\frac{1}{2}$　　　　　　B. $-\frac{1}{4}$　　　　　　C. $\frac{1}{4}$　　　　　　D. $\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：根据分段函数在分界点 $x=2$ 处连续的完整充要条件，该点处的左极限、右极限以及函数值必须严格相等，即 ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=f(2)$。由表达式知 ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=f(2)=a$，因此只需算出右极限 ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)$ 即可。
2. 第二步逻辑：当 $x>2$ 时，由于分母包含平方差因式 $x^2-4=(x-2)(x+2)$，将两分式进行同分母通分合并。合并后分子分母在 $x\to 2$ 时呈现 $\frac{0}{0}$ 型不定式，约去共同的零因子 $(x-2)$ 后，直接代入 $x=2$ 控算出确定值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

• 由连续性定理建立极限方程： 因为分段函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 处连续，所以满足： ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)$ 由题意知，当 $x\le 2$ 时 $f(x)=a$，故 $f(2)=a$。 因此，参数 $a$ 的值完全由右极限控制： $a={\lim }_{x\to 2^{+}}\left(\frac{3x+2}{x^2-4}-\frac{2}{x-2}\right)\text{（式1）}$

• 有理分式通分并消除零因子： 对（式1）号右侧的函数式进行因式分解与通分，公分母为 $x^2-4=(x-2)(x+2)$： $\begin{array}{rl}\frac{3x+2}{x^2-4}-\frac{2}{x-2}& =\frac{3x+2}{(x-2)(x+2)}-\frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)}\\ & =\frac{(3x+2)-(2x+4)}{(x-2)(x+2)}\\ & =\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}\end{array}$ 因为极限过程满足 $x\to 2^{+}$ 且 $x\ne 2$，可以安全约去分子与分母中共同的零因子 $(x-2)$： $\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x+2}$

• 定值代入求得参数 $a$： 将化简后的有理式代回极限方程（式1）中，由于分母不再为 0，直接代入 $x=2$： $a={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数在分界点处连续的数学定义；有理分式通过通分消除 $\frac{0}{0}$ 型零因子的初等极限算法。
2. 核心方法：通分消元法。
3. 避坑指南：极易在通分时对后面分式的负号（分配律）产生运算马虎。在将 $-\frac{2}{x-2}$ 通分为 $-\frac{2(x+2)}{x^2-4}$ 时，分子展开应为 $-2x-4$，部分学生容易漏看前面的负号错算成 $-2x+4$，这会导致分子变为 $x+6$ 而无法与分母约分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 属于微积分初步中连续性与极限计算的典型标准题型，考查分段函数连续条件的确定。
2. 结论推广: 一般地，设分段函数在 $x=x_0$ 处的右侧图形为 $g(x)=\frac{\alpha x+\beta }{x^2-x_0^2}-\frac{\gamma }{x-x_0}$，若该函数在 $x=x_0$ 处连续且极限存在，则分子必含有零因子 $(x-x_0)$。其通分化简后的极限值（即左侧常数 $a$）恒严格满足如下代数特征：当满足系数约束 $\alpha x_0+\beta =2\gamma x_0$ 时，其连续点处的函数值唯一确定为：$a=\frac{\alpha -\gamma }{2x_0}$。本题中 $\alpha =3,\gamma =2,x_0=2$，代入推广通式可直接秒杀：$a=\frac{3-2}{2\times 2}=\frac{1}{4}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性