2004-天津理-20 解-导数的几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于导数运算法、待定系数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2-3x$ 在 $x=\pm 1$ 处取得极值.

(1) 讨论 $f(1)$ 和 $f(-1)$ 是函数 $f(x)$ 的极大值还是极小值；

(2) 过点 $A(0,16)$ 作曲线 $y=f(x)$ 的切线，求此切线方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：求出导函数 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx-3$，利用 $f^{\prime }(1)=0$ 和 $f^{\prime }(-1)=0$ 建立方程组，解出 $a,b$。通过列表或分析 $f^{\prime }(x)$ 在极值点两侧的符号变化，确定极值类型。
2. 第二问：注意点 $A(0,16)$ 不在曲线上。设切点为 $M(x_0,f(x_0))$，切线斜率 $k=f^{\prime }(x_0)$。利用两点斜率公式 $\frac{f(x_0)-16}{x_0-0}=f^{\prime }(x_0)$ 列方程求出切点横坐标 $x_0$，进而写出切线方程。

✅【答案】

Success

(1) $f(-1)=2$ 为极大值，$f(1)=-2$ 为极小值

(2) 切线方程为 $9x-y+16=0$

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 讨论 $f(1)$ 和 $f(-1)$ 的极值属性

对原函数求导，得： $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx-3$ 因为函数 $f(x)$ 在 $x=\pm 1$ 处取得极值，所以 $x=1$ 和 $x=-1$ 是导函数的零根，即： $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(1)=3a+2b-3=0\\ f^{\prime }(-1)=3a-2b-3=0\end{array}$ 两式相加得 $6a-6=0⟹a=1$； 两式相减得 $4b=0⟹b=0$。

将其代回原函数与导函数中，确立解析式： $f(x)=x^3-3x,f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ 分析导函数 $f^{\prime }(x)$ 的符号分布：

• 当 $x<-1$ 时， $f^{\prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 单调递增；
• 当 $-1<x<1$ 时， $f^{\prime }(x)<0$，函数 $f(x)$ 单调递减；
• 当 $x>1$ 时， $f^{\prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 单调递增。

由此可知：

• 在 $x=-1$ 处，导数符号由正变负，故 $f(-1)$ 是函数 $f(x)$ 的极大值，极大值为 $f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)=2$；
• 在 $x=1$ 处，导数符号由负变正，故 $f(1)$ 是函数 $f(x)$ 的极小值，极小值为 $f(1)=1^3-3(1)=-2$。

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(2) 求过点 $A(0,16)$ 的曲线切线方程

将 $x=0$ 代入原函数得 $f(0)=0\ne 16$，说明点 $A(0,16)$ 不在曲线 $y=x^3-3x$ 上。 设切点坐标为 $M(x_0,y_0)$，则 $y_0=x_0^3-3x_0$。 根据导数的几何意义，切线在点 $M$ 处的斜率 $k$ 为： $k=f^{\prime }(x_0)=3x_0^2-3$ 又因为切线经过点 $A(0,16)$ 和切点 $M(x_0,x_0^3-3x_0)$，由两点斜率公式可得： $k=\frac{y_0-16}{x_0-0}=\frac{x_0^3-3x_0-16}{x_0}$ 联立斜率表达式，建立方程： $3x_0^2-3=\frac{x_0^3-3x_0-16}{x_0}$ 方程两边同乘以 $x_0$（由于 $x_0=0$ 时 $-3\ne \infty$，故 $x_0\ne 0$）： $3x_0^3-3x_0=x_0^3-3x_0-16$ 移项合并同类项： $2x_0^3=-16⟹x_0^3=-8⟹x_0=-2$

将 $x_0=-2$ 代入斜率公式中求得切线斜率 $k$： $k=3\times (-2{)}^2-3=12-3=9$ 利用直线的点斜式方程，经过点 $A(0,16)$ 且斜率为 9 的直线方程为： $y-16=9(x-0)⟹9x-y+16=0$

答： $f(-1)$ 为极大值， $f(1)$ 为极小值；所求切线方程为 $9x-y+16=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极值点处导数为 0、单调性与极值的对应关系、曲线外一点求切线的标准设点步骤。
2. 核心方法：待定系数法、斜率双向联立法。
3. 避坑指南：
   • 切勿盲目把点 $A(0,16)$ 当成切点直接求导代入。求切线方程时，必须先验证已知点是否在曲线上。若误认为 $A$ 是切点，直接计算 $k=f^{\prime }(0)=-3$，就会得到错误的切线 $3x+y-16=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考导数板块综合大题。
2. 结论推广: 对于三次曲线 $y=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$，过曲线外一点 $A(x_1,y_1)$ 作切线，设切点为 $x_0$，其核心方程形如 $f^{\prime }(x_0)(x_0-x_1)=f(x_0)-y_1$。此方程展开后关于 $x_0$ 必然是一个三次（或二次）方程，实根的个数严格对应了可作切线条数的几何结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 1985-广东理-35 解-五次多项式的极值与实根个数
• 2006-四川文-03 单-导数求切线方程
• 2006-湖北文-19 解-三次函数极值与单调