2004-天津理-19 解-直线与平面平行的判定

本题导读

本题考查直线与平面平行的判定。核心在于传统几何证明与求角法、空间向量建系法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是正方形，侧棱 $PD\perp$ 底面 $ABCD$， $PD=DC$， $E$ 是 $PC$ 的中点，作 $EF\perp PB$ 交 $PB$ 于点 $F$.

(1) 证明： $PA\parallel$ 平面 $EDB$；

(2) 证明： $PB\perp$ 平面 $EFD$；

(3) 求二面角 $C-PB-D$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（几何法）：连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $O$，连接 $EO$。利用正方形的对角线平分性质以及 $E$ 是 $PC$ 的中点，推导 $EO$ 为 $△CPA$ 的中位线，进而有 $EO\parallel PA$，从而证明线面平行。
2. 建系准备：由于 $DA,DC,DP$ 两两垂直，以 $D$ 为原点建立空间直角坐标系 $D-xyz$。设 $PD=DC=2$，写出各顶点坐标。
3. 第二问（向量法）：求出 $PB$ 的方向向量，以及平面 $EFD$ 内的两个不共线向量（如 $\overrightarrow{DE},\overrightarrow{EF}$ 或 $\overrightarrow{DF}$），证明 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{DE}=0$ 且 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{EF}=0$（或直接利用 $PB\perp DF$）即可。
4. 第三问（向量法）：分别求出平面 $PBC$ 与平面 $PBD$ 的法向量，利用法向量夹角公式计算出二面角的余弦值，进而确定二面角的大小。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

(3) $60^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{3}$）

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 证明： $PA\parallel$ 平面 $EDB$

连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $O$，连接 $EO$。 因为底面 $ABCD$ 是正方形，所以点 $O$ 是 $AC$ 的中点。 在 $△CPA$ 中，点 $E$ 是 $PC$ 的中点，点 $O$ 是 $AC$ 的中点， 所以 $EO$ 是 $△CPA$ 的中位线，从而有： $EO\parallel PA$ 又因为 $PA\notin$ 平面 $EDB$，且 $EO\subset$ 平面 $EDB$， 根据线面平行的判定定理， $PA\parallel$ 平面 $EDB$。

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建系与坐标化

因为侧棱 $PD\perp$ 平面 $ABCD$，底面 $ABCD$ 是正方形， 所以 $DA,DC,DP$ 两两互相垂直。 以 $D$ 为坐标原点，射线 $DA,DC,DP$ 的方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $D-xyz$。 设 $PD=DC=2$，则正方形边长为 2。 各关键点的坐标为： $D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),P(0,0,2)$ 因为 $E$ 是 $PC$ 的中点，由中点坐标公式得： $E(0,1,1)$

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(2) 证明： $PB\perp$ 平面 $EFD$

根据点坐标可得相关向量： $\overrightarrow{PB}=B-P=(2,2,-2),\overrightarrow{DE}=E-D=(0,1,1)$ 计算其数量积： $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{DE}=2\times 0+2\times 1+(-2)\times 1=0+2-2=0$ 所以 $PB\perp DE$。

又已知题设条件中： $PB\perp EF$ 且 $DE\cap EF=E$， $DE,EF\subset$ 平面 $EFD$。 根据线面垂直的判定定理，直线 $PB\perp$ 平面 $EFD$。

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(3) 求二面角 $C-PB-D$ 的大小

由第 (2) 问结论可知， $PB\perp$ 平面 $EFD$， 所以 $PB\perp DF$，且 $PB\perp EF$。 因此， $\angle DFE$ 即为二面角 $C-PB-D$ 的平面角（或其补角）。

下面采用法向量法求解：

• 平面 $PBD$ 的法向量： 由第 (2) 问可知 $PB\perp$ 平面 $EFD$，且 $DF\subset$ 平面 $EFD$，故 $PB\perp DF$。 同时 $BD$ 向量为 $(2,2,0)$。 由 $PB\perp$ 平面 $EFD$ 可知，平面 $PBD$ 的一个法向量即为平面 $EFD$ 内垂直于 $PB$ 的向量。 这里我们直接计算平面 $PBD$ 与平面 $PBC$ 的法向量。

  设平面 $PBD$ 的法向量为 ${\vec{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$： $\overrightarrow{DB}=(2,2,0),\overrightarrow{DP}=(0,0,2)$ 由 $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{DB}=0\\ {\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{DP}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2x_1+2y_1=0\\ 2z_1=0\end{array}$ 令 $x_1=1$，得 $y_1=-1,z_1=0$。 ${\vec{n}}_1=(1,-1,0)$

• 平面 $PBC$ 的法向量： 设平面 $PBC$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$： $\overrightarrow{CB}=(2,0,0),\overrightarrow{CP}=(0,-2,2)$ 由 $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{CB}=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{CP}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2x_2=0\\ -2y_2+2z_2=0\end{array}$ 令 $y_2=1$，得 $z_2=1,x_2=0$。 ${\vec{n}}_2=(0,1,1)$

• 计算法向量夹角的余弦值： $\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩=\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{1\times 0+(-1)\times 1+0\times 1}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+0^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2+1^2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$

结合图形分析，二面角 $C-PB-D$ 的平面角为锐角，因此其对应的余弦值为 $\frac{1}{2}$。 $\cos \theta =\frac{1}{2}⟹\theta =60^{\circ }$

答：二面角 $C-PB-D$ 的大小为 $60^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{3}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：中位线法证线面平行、线面垂直的向量判定（数量积为 0）、法向量求解二面角。
2. 核心方法：空间向量建系代数化法。
3. 避坑指南：
   • 在使用法向量求二面角时，切勿盲目把法向量夹角直接当成最终答案。求出余弦值后，必须回看几何原图，判定该二面角是锐角还是钝角。本题中由于侧面倾斜形态，二面角为锐角，故取正值 $60^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考立体几何大题，集平行、垂直、建系求角于一体，是传统高考试卷的标配。
2. 结论推广: 对于任何含有两两垂直侧棱的锥体（如墙角模型），建立空间直角坐标系是跨越时空思维障碍最稳定的“工业解法”。设两平面法向量分别为 ${\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2$，则二面角 $\theta$ 的余弦值绝对值恒满足 $|\cos \theta |=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2013-辽宁卷理-18 解-直线与平面垂直判定
• 1985-广东文-29 解-直三棱柱中的垂直与二面角