本题导读
本题考查排列组合，以及整除特征。
📌【题干】
Question
（2004年天津卷(理)） 从 中任取 2 个数字，从 中任取 2 个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被 5 整除的四位数共有 个. (用数字作答)
🔍【思路分析】
破题导航
- 明确整除限制：能被 5 整除的四位数，其个位数字只能是 0 或 5。
- 分类讨论个位情况：
- 情况一：个位数字是 0。0 已确定，首位绝不可能为 0，无需考虑首位限制。从奇数集中选 2 个数，再从剩余偶数集中选 1 个数，最后对前三位进行全排列。
- 情况二：个位数字是 5。5 已确定，此时 0 还在可选的偶数集中，必须注意首位不能为 0 的限制。从剩余奇数集中选 1 个数，偶数集中选 2 个数（包含或不包含 0 分步排列）。
✅【答案】
Success
✍【详细解析】
Abstract
解： 一个四位数能被 5 整除，其个位数字必须为 0 或 5。据此分为两类情况讨论：
类别一：个位数字为 0 由于个位已固定为 0， 0 是从偶数集 中选出的。
- 选数阶段：
- 从奇数集 中任取 2 个数字，共有 种选法；
- 从剩余的 4 个偶数 中任取 1 个数字，共有 种选法。 此时选出的 3 个非零数字与个位的 0 共同组成 4 个互异数字。
- 排列阶段： 由于 0 已经固定在个位，其余 3 个非零数字在千位、百位、十位上进行全排列，共有 种排法。
此类别下满足条件的四位数共有：
类别二：个位数字为 5 由于个位已固定为 5， 5 是从奇数集 中选出的。
- 选数阶段：
- 从剩余的 3 个奇数 中任取 1 个数字，共有 种选法；
- 从 5 个偶数 中任取 2 个数字，共有 种选法。
- 排列阶段（特殊位置优先考虑）： 现在要将选出的 3 个数字（包含 1 个奇数，2 个偶数）排在千位、百位、十位上。需要针对选出的偶数中“是否包含 0”分步处理：
- 若选出的 2 个偶数中不含 0（即从 中选 2 个，共 种）： 此时 3 个待排数字均非 0，千位无限制，排列数为 种。组合数为： 个。
- 若选出的 2 个偶数中含有 0（即固定 0 后从 中再选 1 个，共 种）： 此时 3 个待排数字中包含 0。由于千位不能为 0，千位只能从其余 2 个非零数中任选 1 个（ 种），剩下的 2 个数（包含 0）在百位、十位全排列（ 种）。排列数为 种。组合数为： 个。
此类别下满足条件的四位数共有：
综合计算 根据分类加法计数原理，能被 5 整除的四位数总数为：
答案：300
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：特殊元素（末位为 0 或 5）与特殊位置（最高位不为 0）的冲突排列问题。
- 核心方法：元素位置分类讨论法。
- 避坑指南：
- 不要漏掉最高位（千位）不能为 0 的限制。在类别二（个位为 5）的分析中，如果直接对选出的 3 个数进行 排列，会将 0 排在千位（变成三位数），必须通过分类或者插空法排除 0 在首位的情况。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 经典高考排列组合中带有数字整除特性的应用填空题。
- 结论推广: 一般地，解决带有特定数字整除（如被 2, 5, 4, 25 整除）且备选数字中含有“0”的计数问题，最简便、最不容易出错的工业标准步骤永远是优先以“0是否占据末位（或末两位）”作为一级分类基准，这样可以直接剥离首位为 0 的非法隐患。
🔗【关联脉络】
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