2004-天津理-15 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及赋值法求二项式系数和。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） 若 $(1-2x{)}^{2004}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_{2004}{x}^{2004}(x\in \mathbf{R})$，则 $(a_0+a_1)+(a_0+a_2)+(a_0+a_3)+\cdots +(a_0+a_{2004})=$ $\underline{}$. (用数字作答)

🔍【思路分析】

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1. 求常数项 $a_0$：令 $x=0$ 代入恒等式即可求出。
2. 求系数总和：令 $x=1$ 代入恒等式可得 $a_0+a_1+a_2+\cdots +a_{2004}$ 的值。
3. 目标式分组变形：将目标代数式重组，划分为含 $a_0$ 的项之和与全部系数之和的两部分组合，代入已知数值完成求解。

✅【答案】

Success

$2004$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：利用赋值法求关键项和 已知恒等式为： $(1-2x{)}^{2004}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_{2004}{x}^{2004}$

  • 令 $x=0$，代入上式可得常数项 $a_0$： $(1-2\times 0{)}^{2004}=a_0⟹a_0=1^{2004}=1$

  • 令 $x=1$，代入上式可得所有项的系数之和： $(1-2\times 1{)}^{2004}=a_0+a_1+a_2+\cdots +a_{2004}$ $(-1{)}^{2004}=a_0+a_1+a_2+\cdots +a_{2004}$ 由于 2004 是偶数， $(-1{)}^{2004}=1$，故： $a_0+a_1+a_2+\cdots +a_{2004}=1$

• 第二步：对目标求和式进行分组重组 需要求解的目标式为： $I=(a_0+a_1)+(a_0+a_2)+(a_0+a_3)+\cdots +(a_0+a_{2004})$ 观察可知，括号从含有 $a_1$ 项一直持续到含有 $a_{2004}$ 项，因此共有 2004 个括号。 将每个括号内的 $a_0$ 提取出来合并，同时将后面的各项系数合并： $I=\underset{2004\text{个}}{\underbrace{(a_0+a_0+\cdots +a_0)}}+(a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{2004})$ $I=2004a_0+(a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{2004})$

• 第三步：代入已知数值求解 为了利用第一步中整个系数和等于 1 的结论，我们将后半部分进行加项与减项变换： $a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{2004}=(a_0+a_1+a_2+\cdots +a_{2004})-a_0$ 代入总和为 1 且 $a_0=1$ 的已知条件： $a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{2004}=1-1=0$

  现在将 $a_0=1$ 以及后半部分的 0 代入目标重组式 $I$ 中： $I=2004\times 1+0=2004$

故最终结果为 2004。

答案：2004

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式定理的特殊值代入（赋值法）、多项式求和的拆项与分组分配率。
2. 核心方法：分组合并法。
3. 避坑指南：
   • 不要数错 $a_0$ 的项数。目标式是从 $a_1$ 到 $a_{2004}$，因此总项数（即括号个数）是 $2004$ 个，外部贡献了 $2004a_0$。部分同学误以为是从 0 开始而记为 $2005$ 个，导致多算了 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考二项式系数和变形考查填空题。
2. 结论推广: 一般地，若 $(1-2x{)}^N=a_0+a_{1}x+\cdots +a_N{x}^N$，当 $N$ 为正偶数时，其对应的对称求和多项式 ${\sum }_{i=1}^N(a_0+a_i)$ 的值恒等于 $N$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-32 填-二项式系数绝对值之和
• 1987-上海-02 填-二项式系数之和
• 1987-全国文-11 填-二项展开式系数的关系