2004-天津理-09 单-正弦型函数的单调性

本题导读

本题考查正弦型函数的单调性，以及复合函数单调性的判定。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） 函数 $y=2\sin \left(\frac{\pi }{6}-2x\right)(x\in [0,\pi ])$ 为增函数的区间是 ()

A. $\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$　　　　　　　　B. $\left[\frac{\pi }{12},\frac{7\pi }{12}\right]$

C. $\left[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$　　　　　　　　D. $\left[\frac{5\pi }{6},\pi \right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 标准化变形：利用正弦函数的奇函数性质 $\sin (-\theta )=-\sin \theta$，将函数改写为 $y=-2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$。此时 $x$ 的系数变为正数，便于套用标准公式。
2. 转化单调性要求：原函数要整体求单调递增区间，由于最外层带负号（系数 $-2$ 具有翻转作用），等价于求标准函数 $y_1=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 的单调递减区间。
3. 建立整体不等式：将 $2x-\frac{\pi }{6}$ 视为一个整体，使其落在正弦函数的标准递减区间 $\left[2k\pi +\frac{\pi }{2},2k\pi +\frac{3\pi }{2}\right]$ 内，解不等式组并结合已知定义域 $[0,\pi ]$ 截取符合题意的区间。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：标准提负号化简 利用正弦函数的奇偶性，变换函数表达式的内部符号： $y=2\sin \left(\frac{\pi }{6}-2x\right)=2\sin \left[-\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\right]=-2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$

• 第二步：转换单调区间求解条件 要使原函数 $y=-2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 为单调递增函数， 由于外层系数为负数，根据复合函数“同增异减”的原则，只需内层核心函数 $y_1=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 为单调递减函数。

  熟知标准正弦函数 $y=\sin u$ 的单调递减区间为： $\left[2k\pi +\frac{\pi }{2},2k\pi +\frac{3\pi }{2}\right](k\in \mathbf{Z})$ 将整体变量 $u=2x-\frac{\pi }{6}$ 代入标准减区间中建立不等式： $2k\pi +\frac{\pi }{2}⩽2x-\frac{\pi }{6}⩽2k\pi +\frac{3\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$

• 第三步：解不等式并截取定义域 不等式各项同时加上 $\frac{\pi }{6}$： $2k\pi +\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}⩽2x⩽2k\pi +\frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{6}$ 通分化简常数项： $2k\pi +\frac{2\pi }{3}⩽2x⩽2k\pi +\frac{5\pi }{3}$ 各项同时除以 2，解得该函数的单调递增区间通解为： $k\pi +\frac{\pi }{3}⩽x⩽k\pi +\frac{5\pi }{3}(k\in \mathbf{Z})$

  已知自变量的定义域限制为 $x\in [0,\pi ]$。 取 $k=0$，代入通解区间得： $\frac{\pi }{3}⩽x⩽\frac{5\pi }{3}$ 取该区间与定义域 $[0,\pi ]$ 的交集： $\left[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}\right]\cap [0,\pi ]=\left[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$

综合上述， (C) 选项符合题意。

答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数单调区间的求法、自变量系数为负数时的单调性逆转。
2. 核心方法：整体换元法。
3. 避坑指南：
   • 最易错点在于忽略了 $x$ 前面系数“$-2$”对单调性的颠覆作用。很多同学直接把 $\frac{\pi }{6}-2x$ 丢进正弦的标准增区间 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 里去算，导致解出 $-\frac{\pi }{6}⩽x⩽\frac{\pi }{3}$，从而误选 A。必须先提负号或严格运用“异减得增”的规律转换。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的高考三角函数性质考查客观题，属大纲要求的核心高频点。
2. 结论推广: 对于一般形式的三角函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$：
   • 当 $A\cdot \omega >0$ 时，求增区间直接令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽\omega x+\phi ⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi$；
   • 当 $A\cdot \omega <0$ 时（如本题 $A=2,\omega =-2⟹A\omega =-4<0$），求增区间需转化为求减区间，即令 $\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽\omega x+\phi ⩽\frac{3\pi }{2}+2k\pi$。牢记此项乘积正负判定法可实现一步直达。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1988-广东文-18 单-函数的单调性判断