2004-天津理-08 单-充分条件与必要条件的判定

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$，那么“对任意的 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，点 $P_n(n,a_n)$ 都在直线 $y=2x+1$ 上”是“ $\{a_n\}$ 为等差数列表”的 ()

A. 必要而不充分条件　　　　　　　　　B. 充分而不必要条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析充分性（前推后）：如果点 $P_n(n,a_n)$ 都在直线 $y=2x+1$ 上，说明通项公式满足 $a_n=2n+1$。由此计算 $a_{n+1}-a_n$ 是否为常数，判定其是否为等差数列。
2. 分析必要性（后推前）：如果 $\{a_n\}$ 是等差数列，通过等差数列通项公式一般式 $a_n=dn+(a_1-d)$，分析其对应的点集是否必须只能落在特定直线 $y=2x+1$ 上，寻找可能的反例。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 令条件 $p$ 为：“对任意的 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，点 $P_n(n,a_n)$ 都在直线 $y=2x+1$ 上”； 令条件 $q$ 为：“ $\{a_n\}$ 为等差数列”。

• 第一步：判断充分性（即命题 $p⟹q$ 是否为真） 若条件 $p$ 成立，则对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，将点 $P_n(n,a_n)$ 的坐标代入直线方程 $y=2x+1$ 可得该数列的通项公式为： $a_n=2n+1$ 计算相邻两项的差值： $a_{n+1}-a_n=[2(n+1)+1]-(2n+1)=2n+3-2n-1=2$ 由于差值是一个恒固定的常数 2，根据等差数列的定义，数列 $\{a_n\}$ 必然是公差为 2 的等差数列。 因此，命题 $p⟹q$ 为真命题（即充分性成立）。

• 第二步：判断必要性（即命题 $q⟹p$ 是否为真） 若条件 $q$ 成立，即 $\{a_n\}$ 为等差数列。 根据等差数列通项公式，其形式只要满足 $a_n=dn+(a_1-d)$ 即可，其中公差 $d$ 和首项 $a_1$ 可以是任意实数。 构造反例：设等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=3n$ （公差 $d=3$）。此时对应的点 $P_n(n,3n)$ 落在直线 $y=3x$ 上，显然不满足“都在直线 $y=2x+1$ 上”的限制。 因此，命题 $q⟹p$ 为假命题（即必要性不成立）。

综上所述，“对任意的 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，点 $P_n(n,a_n)$ 都在直线 $y=2x+1$ 上”是“ $\{a_n\}$ 为等差数列”的充分而不必要条件。

综合上述， (B) 选项符合题意。

答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项是一次函数形式、充分必要条件的双向推导。
2. 核心方法：特例排除法。
3. 避坑指南：
   • 不要混淆充要条件的范围包裹关系。特定直线 $y=2x+1$ 上的点集对应的数列只是等差数列大家族中的一个具体分支，大范围（等差数列）推不出小范围（特定直线），因此必要性不成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考关于数列基本概念与简易逻辑相结合的常考客观题。
2. 结论推广: 一般地， “对任意的 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，点 $P_n(n,a_n)$ 都在直线 $y=kx+b$ 上”是“ $\{a_n\}$ 为等差数列”的充分而不必要条件。而“ $\{a_n\}$ 为等差数列”的充要条件表述为：“存在常数 $k,b$，使得对任意的 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，点 $P_n(n,a_n)$ 都在直线 $y=kx+b$ 上”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1985-上海文-04 填-等差数列的通项
• 1985-广东文-02 填-等比数列的通项
• 1987-广东文-25 单-等差数列的通项