2004-天津理-07 单-圆的几何性质

本题导读

本题考查圆的几何性质，以及直线相互垂直的斜率关系。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） 若 $P(2,-1)$ 为圆 $(x-1{)}^2+y^2=25$ 的弦 $AB$ 的中点，则直线 $AB$ 的方程是 ()

A. $x-y-3=0$　　　　　　　　　　　　　　B. $2x+y-3=0$

C. $x+y-1=0$　　　　　　　　　　　　　　D. $2x-y-5=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定圆心坐标：从圆的标准方程中直接读出圆心 $C$ 的坐标。
2. 计算圆心与中点连线的斜率：利用两点斜率公式求出 $k_{CP}$。
3. 利用垂直关系求弦所在直线的斜率：根据垂径定理， $CP\perp AB⟹k_{AB}\cdot k_{CP}=-1$，从而算出 $k_{AB}$。
4. 写出直线方程：已知直线过点 $P(2,-1)$ 且斜率已求，利用点斜式写出方程并化为一般式。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：确定圆心坐标 已知圆的标准方程为： $(x-1{)}^2+y^2=25$ 可以直观读出该圆的圆心坐标为 $C(1,0)$。

• 第二步：计算圆心 $C$ 与弦中点 $P$ 连线的斜率 $k_{CP}$ 已知中点为 $P(2,-1)$，根据两点的斜率公式： $k_{CP}=\frac{y_P-y_C}{x_P-x_C}=\frac{-1-0}{2-1}=\frac{-1}{1}=-1$

• 第三步：利用垂直性质确定直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}$ 根据圆的几何性质（垂径定理），圆心与弦中点的连线必然垂直于这条弦。 因此有： $CP\perp AB⟹k_{AB}\cdot k_{CP}=-1$ 将 $k_{CP}=-1$ 代入： $k_{AB}\cdot (-1)=-1⟹k_{AB}=1$

• 第四步：写出直线 $AB$ 的方程 因为直线 $AB$ 经过点 $P(2,-1)$，且斜率为 $k_{AB}=1$。 由直线的点斜式方程公式 $y-y_0=k(x-x_0)$ 代入得： $y-(-1)=1\times (x-2)$ $y+1=x-2$ 移项整理化为一般式方程： $x-y-3=0$

综合上述， (A) 选项符合题意。

答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆心与弦中点连线垂直于弦、两垂直直线斜率之积为 $-1$、点斜式直线方程。
2. 核心方法：数形结合斜率法。
3. 避坑指南：
   • 不要混淆圆心坐标的符号。从标准方程 $(x-1{)}^2+y^2=25$ 读出的圆心横坐标是 $1$ 而不是 $-1$，若读错将导致 $k_{CP}$ 算错。
   • 写完方程后注意检查是否过点 $P$。可以将 $P(2,-1)$ 代入算出的一般式 $2-(-1)-3=0$ 进行快速验算，确保万无一失。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典解析几何直线与圆的位置关系基础选择题。
2. 结论推广: 一般地，若圆心为 $C(x_0,y_0)$，弦中点为 $P(x_1,y_1)$，则以 $P$ 为中点的弦所在直线的标准方程也可以通过“点差法”的简化结论直接写出： $(x_1-x_0)(x-x_1)+(y_1-y_0)(y-y_1)=0$。代入本题参数： $(2-1)(x-2)+(-1-0)(y-(-1))=0⟹1(x-2)-1(y+1)=0⟹x-y-3=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切