2004-天津文-20 解-等差数列与等比关系

本题导读

本题考查等差数列与等比关系。核心在于由三数成等比推出 $a_{1} = d$ ，再求和定公差。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)）设 ${a_{n}}$ 是一个公差为 $d$ （ $d \neq = 0$ ）的等差数列，它的前 $10$ 项和 $S_{10} = 110$ 且 $a_{1}, a_{2}, a_{4}$ 成等比数列.

(1) 证明 $a_{1} = d$ ；

(2) 求公差 $d$ 的值和数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

破题导航

$a_{2}^{2} = a_{1} a_{4}$ ，代入 $a_{2} = a_{1} + d, a_{4} = a_{1} + 3 d$ 。

得 $d^{2} = a_{1} d$ ， $d \neq = 0$ ，故 $a_{1} = d$ 。

$S_{10} = 10 a_{1} + 45 d = 55 d = 110$ ， $d = 2$ 。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $d = 2$ ， $a_{n} = 2 n$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因 $a_{1}, a_{2}, a_{4}$ 成等比数列，故 $a_{2}^{2} = a_{1} a_{4}$ .又 $a_{2} = a_{1} + d$ 、 $a_{4} = a_{1} + 3 d$ ，代入得 $(a_{1} + d)^{2} = a_{1} (a_{1} + 3 d)$ ，展开化简得 $d^{2} = a_{1} d$ .由 $d \neq = 0$ ，得 $a_{1} = d$ . （2）等差数列前 $10$ 项和 $S_{10} = 10 a_{1} + \frac{10 \times 9}{2} d = 10 a_{1} + 45 d$ .代入 $a_{1} = d$ 、 $S_{10} = 110$ ，得 $55 d = 110$ ，故 $d = 2$ ，且 $a_{1} = 2$ .于是通项 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = 2 + 2 (n - 1) = 2 n$ .

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列与等比关系

核心方法：（1） $a_{2}^{2} = a_{1} a_{4} \Rightarrow (a_{1} + d)^{2} = a_{1} (a_{1} + 3 d) \Rightarrow d^{2} = a_{1} d$ ， $d \neq = 0$ ，故 $a_{1} = d$ ；（2） $S_{10} = 10 a_{1} + 45 d = 55 d = 110$ ， $d = 2$ ， $a_{n} = 2 n$

避坑指南：成等比用 $a_{2}^{2} = a_{1} a_{4}$ ； $d \neq = 0$ 才能约去 $d$ ； $S_{10} = 10 a_{1} + 45 d$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于等差数列与等比关系，教材”数列”

结论推广: 一般化：三数成等比用 $a_{2}^{2} = a_{1} a_{4}$ 化关系，前 $n$ 项和定参数； $a_{2} = a_{1} + d, a_{4} = a_{1} + 3 d$ 代入； $d \neq = 0$ 约去 $d$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

2009-浙江卷文-20 解-等差数列通项等比

2012-重庆卷文-16 解-等差数列通项与等比

2006-全国卷II文-18 解-等比数列求和求通项

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2004-天津文-20 解-等差数列与等比关系

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