2004-天津文-15 填-直线与抛物线位置

本题导读

本题考查直线与抛物线的位置关系，以及参数的取值范围。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)） 如果过两点 $A(a,0)$ 和 $B(0,a)$ 的直线与抛物线 $y=x^2-2x-3$ 没有交点，那么实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 过 $A(a,0),B(0,a)$ 的直线 $x+y=a$。
2. 联立 $y=x^2-2x-3$，消 $y$ 得 $x^2-x-(a+3)=0$。
3. 无交点 $⟺\Delta <0$。

✅【答案】

Success

$\left(-\infty ,-\frac{13}{4}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

过 $A(a,0)$、$B(0,a)$ 的直线方程为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，即 $x+y=a$.联立 $\{\begin{array}{l}x+y=a\\ y=x^2-2x-3\end{array}$，代入得 $x^2-2x-3=a-x$，即 $x^2-x-(a+3)=0$.直线与抛物线无交点等价于该方程无实根，判别式 $\Delta =(-1{)}^2-4[-(a+3)]=1+4a+12=4a+13<0$，解得 $a<-\frac{13}{4}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与抛物线位置
2. 核心方法：过 $A(a,0),B(0,a)$ 的直线 $x+y=a$；与 $y=x^2-2x-3$ 无交点 $⟺$ 方程组无解，判别式 $<0$，得 $a<-\frac{13}{4}$
3. 避坑指南：联立 $y=x^2-2x-3$ 与 $x+y=a$，判别式 $\Delta =(-1{)}^2-4(a+3)=1-4a-12<0$，$a<-\frac{13}{4}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于直线与抛物线的位置关系，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：直线与抛物线无交点 $⟺$ 联立方程组判别式 $<0$；联立消元得二次方程，令 $\Delta <0$ 解参数范围

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2007-江西文-07 单-直线与抛物线交点三角形面积
• 2010-湖北卷文-20 解-抛物线直线交点
• 2006-全国卷I文-11 单-抛物线上点到直线距离