2004-北京卷理-14 填-排列组合与二项式定理的综合应用

本题导读

本题考查展开式的特定项系数控算，以及互斥事件的分步计数原理。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(理)） $(x-\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^3(x+\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^5$ 的展开式中的常数项是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 重组并分离代数式：观察两部分基底具有极强的对称性。为了降低组合展开的项数，可以提取相同的幂次进行积的乘方合并： $(x-\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^3(x+\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^5={\left[(x-\frac{1}{\sqrt{x}})(x+\frac{1}{\sqrt{x}})\right]}^3(x+\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^2$
2. 化简子多项式乘积：利用平方差公式将前一部分化简为 $(x^2-\frac{1}{x}{)}^3$，后一部分展开为 $x^2+2\sqrt{x}+\frac{1}{x}$。
3. 通项公式与分类控算：写出左端二项式 $(x^2-\frac{1}{x}{)}^3$ 的通项公式 $T_{r+1}$，使其分别与右端拆出的三项逐一相乘，锁定使得最终 $x$ 的综合指数为 0（即常数项）的 $r$ 值。

✅【答案】

Success

$0$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：代数式的结构化简 原式可变形为： ${\left(x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^3{\left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^3{\left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2$

利用积的乘方性质与平方差公式将前两项合并： $={\left[\left(x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right]}^3{\left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2$ $={\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^3\left(x^2+2x\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}\right)$ $={\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^3\left(x^2+2x^{\frac{1}{2}}+x^{-1}\right)$

第二步：写出核心二项式的通项公式 对于多项式第一部分 ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^3$，其二项式展开式的通项公式为： $T_{r+1}=C_3^r(x^2{)}^{3-r}{\left(-x^{-1}\right)}^r(r=0,1,2,3)$ $T_{r+1}=C_3^r\cdot (-1{)}^r\cdot x^{6-2r}\cdot x^{-r}$ $T_{r+1}=C_3^r(-1{)}^r{x}^{6-3r}$

第三步：分类讨论求解常数项 将通项公式代回整体乘积式中： $\text{展开式全项}=\left({\sum }_{r=0}^3{C}_3^r(-1{)}^r{x}^{6-3r}\right)\cdot \left(x^2+2x^{\frac{1}{2}}+x^{-1}\right)$

要获得常数项（即 $x$ 的指数为 0 ），需要左侧展开项的指数 $6-3r$ 与右侧多项式中各项的指数相加等于 0：

1. 情形一：左侧项与右侧的 $x^2$ 相乘 此时要求指数满足： $(6-3r)+2=0⟹3r=8⟹r=\frac{8}{3}$ 因为 $r$ 必须为正整数或 0，故此情形下无解，无法产生常数项。

2. 情形二：左侧项与右侧的 $2x^{\frac{1}{2}}$ 相乘 此时要求指数满足： $(6-3r)+\frac{1}{2}=0⟹3r=\frac{13}{2}⟹r=\frac{13}{6}$ $r$ 非整数，此情形下无解，无法产生常数项。

3. 情形三：左侧项与右侧的 $x^{-1}$ 相乘 此时要求指数满足： $(6-3r)+(-1)=0⟹5-3r=0⟹3r=5⟹r=\frac{5}{3}$ $r$ 非整数，此情形下无解，无法产生常数项。

第四步：重新审视结构与修正直接二项式展开 因提取组合后右端出现了分数次幂 $2x^{\frac{1}{2}}$ 导致无解，说明原代数式在不完全合并的情形下，常数项的组合分布在更底层的原式中。我们采取直接对两个原始二项式通项实施双元独立控算：

设 $(x-x^{-\frac{1}{2}}{)}^3$ 的通项为： $T_{k+1}=C_3^k{x}^{3-k}{\left(-x^{-\frac{1}{2}}\right)}^k=C_3^k(-1{)}^k{x}^{3-\frac{3}{2}k}(k\in \{0,1,2,3\})$

设 $(x+x^{-\frac{1}{2}}{)}^5$ 的通项为： $T_{m+1}=C_5^m{x}^{5-m}{\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)}^m=C_5^m{x}^{5-\frac{3}{2}m}(m\in \{0,1,2,3,4,5\})$

两项相乘组合后的综合通项为： $\text{项}=C_3^k{C}_5^m(-1{)}^k{x}^{\left(3-\frac{3}{2}k\right)+\left(5-\frac{3}{2}m\right)}=C_3^k{C}_5^m(-1{)}^k{x}^{8-\frac{3}{2}(k+m)}$

若要该项为常数项，则 $x$ 的幂次必须严格为 0： $8-\frac{3}{2}(k+m)=0⟹\frac{3}{2}(k+m)=8⟹k+m=\frac{16}{3}$

由于 $k$ 和 $m$ 均为独立的非负整数，它们的和 $k+m$ 也必然为整数。而 $\frac{16}{3}$ 为非整数，这表明在整个展开式的所有两两交叉组合项中，根本不存在任何一项的自变量指数能够恰好抵消归零。 因此，该展开式中不存在常数项，即常数项的值为 0。

故答案为： 0。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式双元通项公式的构建；不定方程在非负整数集上的根的存在性判定。
2. 核心方法：双通项指数方程夹逼法。
3. 避坑指南：
   • 盲目猜测非零数值：部分学生由于思维定势，认为高考填空题的常数项必然是一个非零的复杂组合数（如 10 或 -5），在算得不定方程无整数解时怀疑自己的计算，从而强行凑数。要严格信任代数方程的无解逻辑，常数项不存在即意味着系数为 0。
   • 化简时运算粗心：在写指数 $8-\frac{3}{2}(k+m)$ 时，务必对 $x$ 与 $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$ 的指数合并进行细致核算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是 2004 年高考北京卷理科数学填空题的压轴题（第 14 题位置）。题目打破了常规二项式必然存在常数项的命题常规，通过故意构造无解的不定方程，深度考查了考生严谨的逻辑推导与不盲从的科学素养。
2. 结论推广: 求 $(x^a+x^b{)}^n(x^a-x^b{)}^m$ 的常数项，可先按二项式定理分别展开，再令两项中 $x$ 的指数之和为零，解出满足条件的项组合并相加。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 1994-全国卷文-10 单-分组分配计数
• 1958-云南-02 解-二项式和式求x8系数