2004-北京卷理-11 填-地球仪的经纬度几何模型

本题导读

本题考查地球仪的经纬度几何模型，以及球的表面积计算公式。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(理)） 某地球仪上北纬 $30^{\circ }$ 纬线的长度为 $12\pi \text{ cm}$，该地球仪的半径是 $\underline{}$ $\text{ cm}$，表面积是 $\underline{}$ ${\text{ cm}}^2$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解纬线小圆半径 $r$：北纬 $30^{\circ }$ 纬线是一个球体截面小圆。通过小圆周长公式 $L=2\pi r=12\pi$，可直接求出该纬线圈的半径 $r$。
2. 求解地球仪大球半径 $R$：在球的轴截面直角三角形模型中，小圆半径 $r$、球心到小圆圆心的距离 $d$ 以及大球半径 $R$ 满足关系 $r=R\cdot \cos \alpha$，其中 $\alpha$ 为地心纬度。代入 $\alpha =30^{\circ }$ 解出 $R$。
3. 求解球体表面积 $S$：将计算得出的球半径 $R$ 代入球的表面积标准计算公式 $S=4\pi R^2$。

✅【答案】

Success

$4\sqrt{3}$ ； $192\pi$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求北纬 $30^{\circ }$ 纬线小圆的半径 $r$ 设该北纬 $30^{\circ }$ 纬线圈小圆的半径为 $r$。 已知该纬线的总周长长度为 $12\pi \text{ cm}$，根据圆的周长公式可得： $2\pi r=12\pi ⟹r=6\text{ cm}$

第二步：求地球仪的球体半径 $R$ 设地球仪的大球半径为 $R$，球心为 $O$，该纬线圈的圆心为 $O^{\prime }$。 在球体的纵轴截面直角三角形 $O{O}^{\prime }P$ 中（其中 $P$ 为纬线圈上的动点）： 线段 $OP=R$ 为斜边，线段 $O^{\prime }P=r$ 为直角边。 根据地球地理坐标的几何定义，地心连线 $OP$ 与赤道平面的夹角即为该点的纬度，因此 $\angle OP{O}^{\prime }=30^{\circ }$。 由空间直角三角投影关系可得： $r=R\cdot \cos 30^{\circ }$

将 $r=6\text{ cm}$ 以及 $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 代入上式中： $6=R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}⟹R=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\text{ cm}$

第三步：求该地球仪的表面积 $S$ 根据球体的标准表面积计算公式： $S=4\pi R^2$

将求得的地球仪半径 $R=4\sqrt{3}\text{ cm}$ 代入公式进行控算： $S=4\pi \times (4\sqrt{3}{)}^2=4\pi \times (16\times 3)=4\pi \times 48=192\pi {\text{ cm}}^2$

故答案为： $4\sqrt{3}$ ； $192\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：地理纬度在立体几何球体中的角度映射；球截面小圆半径与大圆半径的余弦关系公式 $r=R\cos \varphi$；球体面积公式 $S=4\pi R^2$。
2. 核心方法：轴截面直角三角形结构法。
3. 避坑指南：
   • 空间投影角记错：部分学生在转化半径时，容易将直角三角形的夹角弄错，误记成 $r=R\sin 30^{\circ }$。应建立直观几何印象，纬度越高，纬线圈半径越小，故靠近赤道的一侧投影必须使用余弦值 $\cos 30^{\circ }$。
   • 球表面积公式记错：切勿将球表面积公式 $4\pi R^2$ 与圆面积公式或球体积公式 $\frac{4}{3}\pi R^3$ 混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是 2004 年高考北京卷理科数学填空题的第 11 题，将经纬度地理常识与空间立体几何球体性质完美结合，属于考查应用性空间想象的基础技巧题。
2. 结论推广: 半径为 $R$ 的球体上，纬度为 $\varphi$ 的纬线圈半径等于 $R\cos \varphi$，故其周长为 $L(\varphi )=2\pi R\cos \varphi$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1952-全国-10 填-球面积与大圆面积比
• 1953-全国-10 解-球的表面积与体积
• 1986-广东文-28 填-球内切圆柱的表面积比