2004-北京卷理-10 填-对数性质

本题导读

本题考查对数的运算性质，以及指数方程与对数方程的分离。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(理)） 方程 $\lg (4^x+2)=\lg 2^x+\lg 3$ 的解是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 应用对数性质合并右侧：利用对数的加法法则 $\lg A+\lg B=\lg (A\cdot B)$，将等式右边的 $\lg 2^x+\lg 3$ 合并为 $\lg (3\cdot 2^x)$。
2. 脱去对数符号转化为指数方程：两边同时作为 10 的指数，由于对数函数的一致单调性，等价脱去 $\lg$，转化为代数方程 $4^x+2=3\cdot 2^x$。
3. 引入换元降维求解：识别出 $4^x=(2^2{)}^x=(2^x{)}^2$。令 $t=2^x$ （限制条件 $t>0$），将超越方程转化为关于 $t$ 的一元二次方程，解出 $t$ 后再反解出自变量 $x$。

✅【答案】

Success

$x=0$ 或 $x=1$

✍【详细解析】

Abstract

根据对数的运算法则，等式右侧的两个对数项可以合并为积的对数： $\lg 2^x+\lg 3=\lg (3\cdot 2^x)$

将合并后的式子代入原方程中，得： $\lg (4^x+2)=\lg (3\cdot 2^x)$

根据对数函数的单射性（两端底数相同，真数必然相等），脱去对数符号，得到标准的指数超越方程： $4^x+2=3\cdot 2^x$

注意到基底之间的倍数关系： $4^x=(2^2{)}^x=(2^x{)}^2$。 设中间代数变量： $t=2^x$ 由于指数函数的定义域与值域特征，换元参数必须严格满足： $t>0$

将 $t=2^x$ 和 $4^x=t^2$ 代入上述指数方程中，转化为关于 $t$ 的一元二次方程： $t^2+2=3t$ 移项整理为标准形式： $t^2-3t+2=0$

对左端的多项式实施因式分解（十字相乘法）： $(t-1)(t-2)=0$ 解得二次方程的两个根分别为： $t_1=1,t_2=2$ 经检验，两个根均严格满足 $t>0$ 的物理约束，属于有效根。

下面将换元参数分别回代反解自变量 $x$：

• 当 $t=1$ 时： $2^x=1⟹2^x=2^0⟹x=0$
• 当 $t=2$ 时： $2^x=2⟹2^x=2^1⟹x=1$

经回代检验， $x=0$ 与 $x=1$ 均能使原对数方程的真数部分保持严格正数，方程有解。 所以，方程的解为 $x=0$ 或 $x=1$。

故答案为： $x=0$ 或 $x=1$ （或写为 $0,1$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数的积与和转换公式；同底对数方程的真数化简；指数幂的换元降维。
2. 核心方法：变量换元法。
3. 避坑指南：
   • 错将对数和写为对数商：部分学生容易将对数加法性质记错，误写为 $\lg \frac{2^x}{3}$。必须牢记“对数相加，真数相乘；对数相减，真数相除”。
   • 忽视换元后的正负号约束：虽然本题解出的 $t=1,2$ 均为正数，但在常规指数换元题中，若解出负数根（如 $t=-2$），必须由于 $2^x>0$ 恒成立而将其予以严格舍弃。解题时需养成先写出定义域约束的习惯。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是 2004 年高考北京卷理科数学的第二道填空题（第 10 题位置），考查基本初等函数（指数与对数）的代数控算与方程求解。
2. 结论推广: 本题涉及的代数方程属于标准的**准齐次指数方程（Quasi-homogeneous Exponential Equations）**模型。一般地，对于形如 ${\log }_a(A\cdot q^{2x}+B)={\log }_a{q}^x+{\log }_{a}C$ 的方程，其通过代数结构剥离后均可无缝映射为标准形式： $A\cdot t^2-C\cdot t+B=0(\text{其中 }t=q^x>0)$ 该换元降维技术构成了解决物理学中核衰变裂变、人口复合增长等动力学方程稳态解的通用数学工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1958-四川-06 解-换元解指数方程
• 1958-沪闽-02 解-对数指数混合方程组
• 1977-内蒙古文-01 解-代数运算与三角