2004-北京卷理-05 单-反函数存在的判定条件

本题导读

本题考查反函数存在的判定条件，以及二次函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(理)） 函数 $f(x)=x^2-2ax-3$ 在区间 $[1,2]$ 上存在反函数的充分必要条件是 ()

A. $a\in (-\infty ,1]$　　B. $a\in [2,+\infty )$　　C. $a\in [1,2]$　　D. $a\in (-\infty ,1]\cup [2,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化反函数存在条件：一个连续函数在某个闭区间上存在反函数的充要条件是该函数在此区间上是**严格单调（单调递增或单调递减）**的。如果函数在区间内存在非退化的极值点（即对称轴横穿区间内部），则会导致一类“多对一”的映射，从而丧失反函数。
2. 分析二次函数的单调性：给出二次函数 $f(x)=x^2-2ax-3$ 的对称轴方程 $x=a$。因为二次项系数为 $1>0$，函数图象为开口向上的抛物线。其在 $(-\infty ,a]$ 上单调递减，在 $[a,+\infty )$ 上单调递增。
3. 确定对称轴与区间的相对位置：要使函数在 $[1,2]$ 上严格单调，对称轴 $x=a$ 必须完全落在区间 $[1,2]$ 的左侧或右侧。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

根据反函数的存在定理，连续函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上存在反函数的充要条件是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是严格单调的。

已知二次函数解析式为： $f(x)=x^2-2ax-3$ 其开口向上，对称轴方程为： $x=-\frac{-2a}{2\times 1}=a$

抛物线的单调性分布为：

• 在 $(-\infty ,a]$ 上函数单调递减；
• 在 $[a,+\infty )$ 上函数单调递增。

, showing options where a is less than or equal to 1 or greater than or equal to 2]

要使函数 $f(x)$ 在定义区间 $[1,2]$ 上存在反函数，则 $[1,2]$ 必须完全包含在抛物线的单调递增区间或单调递减区间内。 也就是对称轴 $x=a$ 不能截断区间 $[1,2]$，即对称轴只能分布在区间端点的两侧（可以包含边界）：

• 情形一：函数在 $[1,2]$ 上单调递增 此时整个区间 $[1,2]$ 必须属于右侧单调递增分支 $[a,+\infty )$： $a\le 1$ 即 $a\in (-\infty ,1]$。

• 情形二：函数在 $[1,2]$ 上单调递减 此时整个区间 $[1,2]$ 必须属于左侧单调递减分支 $(-\infty ,a]$： $a\ge 2$ 即 $a\in [2,+\infty )$。

综合上述两种相容情形，参数 $a$ 的取值集合为两部分的并集： $a\in (-\infty ,1]\cup [2,+\infty )$

故选 (D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数存在与严格单调性的充要判定；二次函数开口性与对称轴对单调区间的划分。
2. 核心方法：数形结合边界法。
3. 避坑指南：
   • 漏掉单侧单调分支：部分学生容易产生思维定势，只考虑了对称轴在左侧单调递增的情形（$a\le 1$），从而误选 A；或者只考虑了右侧单调递减的情形，误选 B。必须全面考虑二次函数左右两段截然相反的单调域。
   • 边界端点漏记等号：当对称轴 $x=a$ 恰好等于 $1$ 或 $2$ 时，函数在 $[1,2]$ 上仍然保持严格单调性（极值点在端点处不破坏单调区间的内部纯洁性），因此边界处必须取闭区间，带有等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是 2004 年高考北京卷理科数学的第五道选择题，属于典型的“函数性质与充要条件”交汇的中档技巧题，考查单调性这一函数核心基石性质。
2. 结论推广: 对于任意二次函数 $f(x)=A{x}^2+Bx+C$ （$A\ne 0$），其在有限闭区间 $[\alpha ,\beta ]$ 上存在反函数的充要条件，在代数上完全等价于对称轴不落在该开区间内部： $-\frac{B}{2A}\le \alpha \text{或}-\frac{B}{2A}\ge \beta$ 这一代数不等式组构成了解决一切二次多项式复合反函数存在性问题的通用判定模型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1988-广东文-18 单-函数的单调性判断