2004-北京卷理-03 单-空间中直线与平面的位置关系

本题导读

本题考查本知识点。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(理)） 设 $m,n$ 是两条不同的直线， $\alpha ,\beta ,\gamma$ 是三个不同的平面，给出下列四个命题：

① 若 $m\perp \alpha ,n\parallel \alpha$，则 $m\perp n$； ② 若 $\alpha \parallel \beta ,\beta \parallel \gamma ,m\perp \alpha$，则 $m\perp \gamma$； ③ 若 $m\parallel \alpha ,n\parallel \alpha$，则 $m\parallel n$； ④ 若 $\alpha \perp \gamma ,\beta \perp \gamma$，则 $\alpha \parallel \beta$. 其中正确命题的序号是 ()

A. ①和②　　　　　B. ②和③　　　　　C. ③和④　　　　　D. ①和④

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析命题①：利用线面垂直的定义与线面平行的性质。由 $m\perp \alpha$ 知 $m$ 垂直于 $\alpha$ 内的所有直线，再利用平移将 $n$ 移入平面内进行判定。
2. 分析命题②：利用面面平行的传递性先判定 $\alpha \parallel \gamma$。再根据一条直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个的性质进行判定。
3. 分析命题③：利用空间两条直线平行、相交或异面的空间结构进行反例构造。
4. 分析命题④：利用两平面垂直于同一平面时，它们可以平行也可以相交（如长方体相邻的两个侧面都垂直于底面）的空间模型进行反例排除。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

• 命题①：若 $m\perp \alpha ,n\parallel \alpha$，则 $m\perp n$． 证明：因为 $n\parallel \alpha$，由线面平行的性质定理，在平面 $\alpha$ 内必存在一条直线 $n^{\prime }$ 使得 $n^{\prime }\parallel n$。 又因为 $m\perp \alpha$，根据线面垂直的定义，直线 $m$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的所有直线， 故 $m\perp n^{\prime }$。 因为 $n^{\prime }\parallel n$ 且 $m\perp n^{\prime }$，根据异面直线所成角的定义与性质，可得 $m\perp n$。 故命题①正确。

• 命题②：若 $\alpha \parallel \beta ,\beta \parallel \gamma ,m\perp \alpha$，则 $m\perp \gamma$． 证明：因为 $\alpha \parallel \beta$ 且 $b\parallel \gamma$，根据空间平面平行的传递性，可得 $\alpha \parallel \gamma$。 已知直线 $m\perp \alpha$。根据平行平面的性质，一条直线若垂直于两个平行平面中的一个，则它必然垂直于另一个平面。 因此， $m\perp \gamma$。 故命题②正确。

• 命题③：若 $m\parallel \alpha ,n\parallel \alpha$，则 $m\parallel n$． 证明：在空间中，同时平行于同一个平面 $\alpha$ 的两条不同直线 $m$ 和 $n$，它们之间线性几何位置关系是不确定的。 它们可以平行，也可以相交，还可以互为异面直线。 反例：正方体的上底面为 $\alpha$，下底面的两条相交边分别为 $m$ 和 $n$。此时 $m\parallel \alpha$ 且 $n\parallel \alpha$，但 $m$ 与 $n$ 相交，并不平行。 故命题③错误。

• 命题④：若 $\alpha \perp \gamma ,\beta \perp \gamma$，则 $\alpha \parallel \beta$． 证明：同时垂直于同一个平面 $\gamma$ 的两个不同平面 $\alpha$ 与 $\beta$，它们的位置关系可以平行，也可以相交。 反例：在长方体中，相邻的两个侧面 $\alpha$ 和 $\beta$ 都垂直于同一个底面 $\gamma$，但是这两个侧面 $\alpha$ 与 $\beta$ 相互垂直（相交），并不平行。 故命题④错误．

综上所述，正确的命题序号是 ①和②。

故选 (A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直、线面平行的空间几何定义；面面平行的单调传递性；空间异面/相交直线特征。
2. 核心方法：定理严密推导法、长方体/正方体模型反例排除法。
3. 避坑指南：
   • 将平面几何结论机械套用于立体几何：在平面内“同时平行于第三条直线的两条直线平行”恒成立，但在立体几何中， “同时平行于同一个平面的两条直线”并不必然平行（命题③错误）。
   • 忽视两平面垂直于同一平面的相交可能：误以为面面垂直类似于线线垂直而得出平行的直觉错误，需借由教室墙角（两面墙都垂直于地面，但两面墙相交）等具体模型排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是 2004 年高考北京卷理科数学的第三道选择题，属于立体几何大纲中考查空间线面位置关系定性判定的经典母题。
2. 结论推广: 本题各命题常在向量代数中进行矩阵化表达。设平面的法向量分别为 ${\vec{n}}_{\alpha },{\vec{n}}_{\beta },{\vec{n}}_{\gamma }$，直线的方向向量分别为 ${\vec{v}}_m,{\vec{v}}_n$：
   • 命题①等价于：若 ${\vec{v}}_m\parallel {\vec{n}}_{\alpha }$ 且 ${\vec{v}}_n\cdot {\vec{n}}_{\alpha }=0⟹{\vec{v}}_m\cdot {\vec{v}}_n=0$（严格成立）；
   • 命题④等价于：若 ${\vec{n}}_{\alpha }\cdot {\vec{n}}_{\gamma }=0$ 且 ${\vec{n}}_{\beta }\cdot {\vec{n}}_{\gamma }=0⟹{\vec{n}}_{\alpha }\parallel {\vec{n}}_{\beta }$。由三维欧氏空间正交基性质知，两向量同垂直于第三向量无法推出这两向量平行，该向量代数模型完美解释了此题的命题根源。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 1985-广东理-29 单-空间直线的位置关系命题
• 1988-广东文-23 单-直线与半圆的位置关系