2004-北京卷理-02 单-复数的模长计算

本题导读

本题考查复数的模长计算，以及复数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(理)） 满足条件 $|z-\text{i}|=|3+4\text{i}|$ 的复数 $z$ 在复平面上对应点的轨迹是 ()

A. 一条直线　　　　B. 两条直线　　　　C. 圆　　　　D. 椭圆

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简常数项模长：计算等式右侧的定复数模长 $|3+4\text{i}|$，确定其为一个常数。
2. 翻译左侧几何意义：复数减法的模 $|z-z_0|$ 在复平面上代表动点 $z$ 到定点 $z_0$ 之间的几何距离。
3. 锁定动点轨迹：根据平面几何定义，到定点的距离等于定长的动点轨迹为圆。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

方法一：几何意义法 首先计算等式右侧常数复数的模长： $|3+4\text{i}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ 原方程可化简为： $|z-\text{i}|=5$

根据复数模长的几何意义， $|z-z_0|$ 表示复平面上动数 $z$ 对应的动点 $P$ 到定数 $z_0$ 对应的定点 $M$ 之间的距离。 在本题中，令 $z_0=\text{i}$，其在复平面上对应的定点坐标为 $M(0,1)$。 方程 $|z-\text{i}|=5$ 的几何语义为：复平面上的动点 $P$ 到定点 $M(0,1)$ 的距离恒等于常数 $5$。

依据平面几何中圆的定义，到定点的距离等于定长的动点的轨迹是一个圆（圆心为 $(0,1)$，半径为 $5$）。

方法二：代数方程法 设复数 $z=x+y\text{i}$ ($x,y\in \mathbb{R}$)，代入原方程 $|z-\text{i}|=5$ 中： $|(x+y\text{i})-\text{i}|=5$ 利用复数加减法则，合并实部与虚部： $|x+(y-1)\text{i}|=5$ 根据复数模长的代数定义展开： $\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}=5$ 两边同时平方以消除根号： $x^2+(y-1{)}^2=25$

该方程是标准解析几何中以 $(0,1)$ 为圆心， $5$ 为半径的圆的方程。

故选 (C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数模的标准代数算式；复数减法模长的平面距离映射；圆的解析几何标准方程。
2. 核心方法：几何距离转化法、代数设参方程法。
3. 避坑指南：
   • 错将复数 $\text{i}$ 的对应点看错：纯虚数 $\text{i}$ 对应的复平面点是 $(0,1)$，位于虚轴上，避免错记为实轴上的 $(1,0)$。
   • 公式计算粗心：在计算 $\sqrt{3^2+4^2}$ 时，应熟记勾股数直接得出 $5$，避免平方或加法运算笔误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是 2004 年高考北京卷理科数学的第二道选择题，属于典型的“复数与几何轨迹”交汇的基础题，考查数形结合的基本素养。
2. 结论推广: 在复平面中，关于动复数 $z$ 的模长方程代表三种经典的二次曲线或直线轨迹：
   • $|z-z_1|=R$ （$R$ 为常数）表示以 $z_1$ 为圆心的圆；
   • $|z-z_1|=|z-z_2|$ 表示连接 $z_1,z_2$ 两点线段的垂直平分线（直线）；
   • $|z-z_1|+|z-z_2|=2a$ （$2a>|z_1-z_2|$）表示以 $z_1,z_2$ 为焦点的椭圆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-19 单-复数模与平方
• 1986-上海理-18 单-复数模与平方
• 1986-广东理-07 单-复数模的轨迹方程