2004-北京卷理-01 单-集合的补集运算

本题导读

本题考查集合的补集运算，以及集合的交集运算。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(理)） 设全集是实数集 $\mathbf{R}$，$M=\{x|-2\le x\le 2\}$，$N=\{x|x<1\}$，

那么 $\overline{M}\cap N$ 等于 ()

A. $\{x|x<-2\}$　　　　　　　　　　　　　　　B. $\{x|-2<x<1\}$

C. $\{x|x<1\}$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $\{x|-2\le x<1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解补集 $\overline{M}$：已知全集为 $\mathbf{R}$，集合 $M$ 为闭区间 $[-2,2]$。求补集即为取该区间之外的所有实数，注意闭区间求补后端点变为开边界。
2. 求解交集 $\overline{M}\cap N$：将求得的补集 $\overline{M}$ 与已知集合 $N$ 的范围同时绘制在数轴上，寻找它们的公共重叠区域。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

根据集合的补集定义，在全集 $\mathbf{R}$ 中，集合 $M$ 的补集 $\overline{M}$ 为： $\overline{M}={\complement }_{\mathbf{R}}M=\{x|x<-2\text{ 或 }x>2\}$

已知集合 $N$ 的范围为： $N=\{x|x<1\}$

求两集合的交集 $\overline{M}\cap N$，即寻找同时满足 $x\in \overline{M}$ 且 $x\in N$ 的元素范围。 在数轴上表示两部分区域：

• $\overline{M}$ 覆盖的区域为 $-2$ 的左侧（不含 $-2$）以及 $2$ 的右侧（不含 $2$）；

• $N$ 覆盖的区域为 $1$ 的左侧（不含 $1$）。

通过数轴的几何重叠比对，两者的公共区域有且仅有 $-2$ 左侧的区间： $\overline{M}\cap N=\{x|x<-2\}$

故选 (A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对补集的定义与运算；交集（$\cap$）的定义与运算法则；不等式的数轴表示。
2. 核心方法：数轴几何法。
3. 避坑指南：
   • 端点开闭状态混淆：集合 $M$ 包含端点 $-2$ 和 $2$（即 $\le$ 和 $\ge$），在求其补集时，端点处的性态必须发生翻转，变为不包含端点（即 $<$ 和 $>$）。
   • 交集与并集符号看错：看清题目要求的是交集（$\cap$）而非并集（$\cup$），交集取的是两范围的公共重叠部分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是 2004 年高考北京卷理科数学的第一道选择题，属于典型的集合基础运算得分题，旨在稳定测试高中数学最基本的符号语言及逻辑运算。
2. 结论推广: 对于任意给定全集 $\mathbf{R}$ 的区间 $I_1=[a,b]$ 与 $I_2=(-\infty ,c)$，当满足 $a<c<b$ 时，其补集与交集的复合运算具有统一的代数规律： $({\complement }_{\mathbf{R}}{I}_1)\cap I_2=(-\infty ,a)$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1987-上海-25 解-集合的运算
• 1981-全国文-01 解-有理数集与无理数集的并交
• 1985-广东文-18 单-集合的补集运算