2004-北京春文-19 解-分段函数与利润

本题导读

本题考查分段函数与利润问题。核心在于按订购量分段写单价，再求利润。

📌【题干】

Question

某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为 $40$ 元，出厂单价定为 $60$ 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 $100$ 件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低 $0.02$ 元．根据市场调查，经销商一次订购量不会超过 $500$ 件． （1）设一次订购量为 $x$ 件，服装的实际出厂单价为 $P$ 元，写出函数 $P=f(x)$ 的表达式； （2）当销售商一次订购 $400$ 件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润 $=$ 实际出厂单价 $-$ 成本）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 当 $1⩽x⩽100$ 时，$P=60$。
2. 当 $100<x⩽500$ 时，$P=60-0.02(x-100)$。
3. 订购 400 件算单价与利润。

✅【答案】

Success

（1）$P=f(x)=\{\begin{array}{ll}60,& 1⩽x⩽100\\ 62-0.02x,& 100<x⩽500\end{array}$；（2）$5600$ 元

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $1⩽x⩽100$ 时，订购量未超过 $100$ 件，实际出厂单价仍为 $60$ 元．当 $100<x⩽500$ 时，超过 $100$ 件的部分有 $x-100$ 件，全部服装每件降低 $0.02(x-100)$ 元，故实际出厂单价为 $60-0.02(x-100)=62-0.02x$ 元．因此 $P=f(x)=\{\begin{array}{ll}60,& 1⩽x⩽100\\ 62-0.02x,& 100<x⩽500\end{array}$． （2）订购 $400$ 件时，超过 $100$ 件的部分为 $300$ 件，每件实际出厂单价为 $60-0.02\times 300=54$ 元，每件利润为 $54-40=14$ 元，故总利润为 $400\times 14=5600$ 元．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数与利润

核心方法：（1）$P=f(x)=\{\begin{array}{ll}60,& 1⩽x⩽100\\ 62-0.02x,& 100<x⩽500\end{array}$；（2）订购 400 件单价 $60-0.02\times 300=54$，利润 $(54-40)\times 400=5600$ 元

避坑指南：超过 100 件部分才降价，降幅 $0.02(x-100)$；利润 = (实际单价 $-$ 成本) × 件数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于分段函数与利润问题，教材”函数模型”

结论推广：一般化：分段定价函数，利润 = (单价 $-$ 成本) × 数量

方法推广：按订购量是否超 100 件分段写单价，再算利润

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2007-湖北文-18 解-利润函数最值应用
• 2005-湖南卷文-10 单-二次函数销售利润最值

专题合集 (Series)