2004-北京春文-09 单-含次品的组合计数

本题导读

本题考查含次品的组合计数，以及补集思想。

📌【题干】

Question

在 $100$ 件产品中有 $6$ 件次品，现从中任取 $3$ 件产品，至少有 $1$ 件次品的不同取法的种数是（　　） A. ${\mathrm{C}}_6^1{\mathrm{C}}_{94}^2$　B. ${\mathrm{C}}_6^1{\mathrm{C}}_{99}^2$ C. ${\mathrm{A}}_{100}^3-{\mathrm{A}}_{94}^3$　D. ${\mathrm{C}}_{100}^3-{\mathrm{C}}_{94}^3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总数 ${\mathrm{C}}_{100}^3$。
2. 无次品数 ${\mathrm{C}}_{94}^3$。
3. 至少 1 件次品 $=$ 总数 $-$ 无次品。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

从 $100$ 件产品中任取 $3$ 件的取法总数为 ${\mathrm{C}}_{100}^3$．没有次品时，须从 $94$ 件正品中取 $3$ 件，取法数为 ${\mathrm{C}}_{94}^3$．因此至少取到 $1$ 件次品的取法数为 ${\mathrm{C}}_{100}^3-{\mathrm{C}}_{94}^3$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含次品的组合计数

核心方法：至少 1 件次品 = 总数 $-$ 全正品，即 ${\mathrm{C}}_{100}^3-{\mathrm{C}}_{94}^3$

避坑指南：用”补集”：总数减无次品；${\mathrm{C}}_6^1{\mathrm{C}}_{94}^2$ 有重复计数，不对

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于组合计数，教材”计数原理”

结论推广：一般化：“至少一件”用补集 $=$ 总数 $-$ 全无次品

方法推广：避免 ${\mathrm{C}}_6^1{\mathrm{C}}_{94}^2$ 的重复计数，用总数减正品

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2005-浙江卷文-14 填-排列组合至多至少计数
• 2008-四川文-15 填-组合间接法至少一人
• 2008-湖南文-08 单-至少一个选中计数

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