2004-北京卷文-12 填-圆的圆心与位置关系

本题导读

本题考查圆的圆心坐标，以及直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(文)） 圆 $x^2+(y+1{)}^2=1$ 的圆心坐标是 $\underline{}$，如果直线 $x+y+a=0$ 与该圆有公共点，那么实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆心为 $(0,-1)$。
2. 圆心到直线距离 $d=\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}$。
3. $d⩽1$ 解 $a$。

✅【答案】

Success

$(0,-1)$，$[1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}]$

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+(y+1{)}^2=1$ 的圆心为 $(0,-1)$，半径 $r=1$.直线 $x+y+a=0$ 与圆有公共点，等价于圆心到直线的距离不超过半径，即 $d=\frac{|0-1+a|}{\sqrt{2}}=\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}⩽1$，得 $|a-1|⩽\sqrt{2}$，故 $a\in [1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的圆心与位置关系
2. 核心方法：圆 $x^2+(y+1{)}^2=1$ 圆心 $(0,-1)$；直线 $x+y+a=0$ 与圆有公共点 $⟺$ 圆心到直线距离 $d=\frac{|0-1+a|}{\sqrt{2}}=\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}⩽1$，即 $|a-1|⩽\sqrt{2}$，$a\in [1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}]$
3. 避坑指南：圆心 $(0,-1)$ 是 $y$ 轴负方向；距离 $d=\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}⩽r=1$ 解 $|a-1|⩽\sqrt{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于直线与圆的位置关系，教材”直线与圆”
2. 结论推广: 一般化：直线与圆有公共点 $⟺$ 圆心到直线距离 $⩽$ 半径；圆心 $(0,-1)$ 代入距离公式，解 $|a-1|⩽\sqrt{2}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2007-安徽文-05 单-圆心到直线距离
• 2010-上海卷文-07 填-圆心到直线距离
• 2005-全国卷II文-14 填-点到直线距离求圆方程