2004-北京卷文-11 填-球纬线长与表面积

本题导读

本题考查球面纬线的长度，以及球的表面积。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(文)） 某地球仪上北纬 $30^{\circ }$ 纬线的长度为 $12\pi$ cm，该地球仪的半径是 $\underline{}$cm，表面积是 $\underline{}$cm².

🔍【思路分析】

破题导航

1. 北纬 $30^{\circ }$ 纬线半径 $r=R\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}R$。
2. 周长 $2\pi r=\sqrt{3}\pi R=12\pi$，解 $R$。
3. 表面积 $4\pi R^2$。

✅【答案】

Success

$4\sqrt{3}$，$192\pi$

✍【详细解析】

Abstract

设地球仪半径为 $R$，北纬 $30^{\circ }$ 纬线所在圆的半径 $r=R\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}R$.其周长 $2\pi r=\sqrt{3}\pi R=12\pi$，解得 $R=4\sqrt{3}$ cm．故表面积 $S=4\pi R^2=4\pi \times 48=192\pi$ cm²．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球纬线长与表面积
2. 核心方法：北纬 $30^{\circ }$ 纬线半径 $r=R\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，周长 $2\pi r=\sqrt{3}\pi R=12\pi$，$R=4\sqrt{3}$；表面积 $4\pi R^2=4\pi \times 48=192\pi$
3. 避坑指南：纬线半径是 $R\cos 30^{\circ }$ 不是 $R$；先由周长反解球半径 $R$，再算表面积 $4\pi R^2$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于球的截面与表面积，教材”空间几何体”
2. 结论推广: 一般化：纬度为 $\phi$ 的纬线半径 $r=R\cos \phi$，表面积 $4\pi R^2$；纬线半径是 $R\cos \phi$（投影），勿直接用 $R$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I文-02 单-球的截面与表面积
• 2009-辽宁文-05 单-球纬线长比值
• 2013-大纲卷文-16 填-球的表面积