2004-全国卷IV理-19 解-离散型随机变量的分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列。核心在于概率建模代换法、分类讨论穷举法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题. 竞赛规则规定：每题回答正确得 100 分，回答不正确得 -100. 假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.

(1) 求这名同学回答这三个问题的总得分 $\xi$ 的概率分布和数学期望；

(2) 求这名同学总得分不为负分 (即 $\xi ⩾0$) 的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立变量映射：设该同学回答正确的题目数量为 $X$。由于共回答 3 题，每题答对概率为 0.8 且互不影响，因此 $X$ 服从二项分布 $B(3,0.8)$。根据得分规则，总得分 $\xi$ 与答对题数 $X$ 存在线性映射关系： $\xi =100X-100(3-X)=200X-300$。
2. 求解分布列：由 $X$ 可取 $0,1,2,3$，对应算出 $\xi$ 的可能取值 $-300,-100,100,300$。利用独立重复试验概率公式 $P(X=k)=C_3^k{p}^k(1-p{)}^{3-k}$ 依次算出各概率，列表画出分布列。
3. 期望与有界概率计算：
   • 依据数学期望公式 $E(\xi )=\sum {\xi }_i{P}_i$ 进行求和（亦可直接利用 $E(AX+B)=AE(X)+B$ 求解）。
   • 根据第 (2) 问要求，将所有满足 $\xi ⩾0$ 的互斥事件（即 $\xi =100$ 和 $\xi =300$）的概率相加即可。

✅【答案】

Success

(1) $\xi$ 的分布列为 $P(\xi =-300)=0.008$，$P(\xi =-100)=0.096$，$P(\xi =100)=0.384$，$P(\xi =300)=0.512$；$E(\xi )=60$

(2) $0.896$

✍【详细解析】

Abstract

解： 设该同学在 3 道题中回答正确的题数为 $X$，则回答错误的题数为 $3-X$。 由题意可知， $X$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3$，且 $X\sim B(3,0.8)$。 该同学的回答总得分 $\xi$ 与 $X$ 的关系为： $\xi =100X+(-100)(3-X)=200X-300$

(1) 求总得分 $\xi$ 的概率分布和数学期望：

当 $X=0$ 时， $\xi =200\times 0-300=-300$； 当 $X=1$ 时， $\xi =200\times 1-300=-100$； 当 $X=2$ 时， $\xi =200\times 2-300=100$； 当 $X=3$ 时， $\xi =200\times 3-300=300$。

根据独立重复试验公式，分别计算 $\xi$ 取各个值的概率： $P(\xi =-300)=P(X=0)=C_3^0\times 0.8^0\times 0.2^3=1\times 1\times 0.008=0.008$ $P(\xi =-100)=P(X=1)=C_3^1\times 0.8^1\times 0.2^2=3\times 0.8\times 0.04=0.096$ $P(\xi =100)=P(X=2)=C_3^2\times 0.8^2\times 0.2^1=3\times 0.64\times 0.2=0.384$ $P(\xi =300)=P(X=3)=C_3^3\times 0.8^3\times 0.2^0=1\times 0.512\times 1=0.512$

所以， $\xi$ 的概率分布列为：

$\xi$	$-300$	$-100$	$100$	$300$
$P$	$0.008$	$0.096$	$0.384$	$0.512$

根据离散型随机变量数学期望的定义， $\xi$ 的数学期望为： $E(\xi )=(-300)\times 0.008+(-100)\times 0.096+100\times 0.384+300\times 0.512$ $E(\xi )=-2.4-9.6+38.4+153.6=180$

(另解：因为 $X\sim B(3,0.8)$，所以 $E(X)=np=3\times 0.8=2.4$。 利用期望的线性性质： $E(\xi )=E(200X-300)=200E(X)-300=200\times 2.4-300=480-300=180$.)

(2) 求这名同学总得分不为负分 (即 $\xi ⩾0$) 的概率：

由已知条件，总得分不为负分即 $\xi =100$ 或 $\xi =300$。 这两个事件互斥，因此其概率为两概率之和： $P(\xi ⩾0)=P(\xi =100)+P(\xi =300)=0.384+0.512=0.896$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项分布公式、线性组合的期望性质 $E(aX+b)=aE(X)+b$、互斥事件加法原理。
2. 核心方法：变量关系代换法。
3. 避坑指南：
   • 不要误将总得分 $\xi$ 直接当成服从二项分布的变量。二项分布对应的成功次数 $X$ 只能取整数步长 $0,1,2,3$，而 $\xi$ 的取值存在正负交替。必须通过过渡变量 $X$ 搭建桥梁。
   • 分布列计算完毕后，务必口算核对四个概率的总和是否等于 1 （即 $0.008+0.096+0.384+0.512=1.000$）。如果不为 1，说明中间计算存在低级数字失误，可及时纠错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典概率大题，属于高中应用数学中关于概率竞赛得分体制的标准化考查。
2. 结论推广: 一般地，若某独立试验成功概率为 $p$，共重复进行 $n$ 次，每次成功得 $A$ 分，失败扣 $B$ 分（即得 $-B$ 分），则其总得分的数学期望恒满足简便秒杀公式： $E(\text{总得分})=n\cdot [A\cdot p-B\cdot (1-p)]$。代入本题验证： $3\times [100\times 0.8-100\times 0.2]=3\times [80-20]=3\times 60=180$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2012-新课标Ⅰ(理)-18 解-离散型随机变量
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2011-重庆卷理-17 解-独立重复试验