2004-全国卷IV理-17 解-同角三角函数基本关系

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系。核心在于恒等变形化简法、先化简后代入法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） 已知 $\alpha$ 为第二象限角，且 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$，求 $\frac{\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)}{\sin 2\alpha +\cos 2\alpha +1}$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出单角余弦值 $\cos \alpha$：由于已知 $\sin \alpha$ 且已知 $\alpha$ 在第二象限，利用平方关系 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 并严格确定余弦值为负号，求出 $\cos \alpha$。
2. 分子与分母恒等化简：
   • 分子应用两角和的正弦公式展开： $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha +\cos \alpha )$；
   • 分母应用二倍角公式展开：将 $\cos 2\alpha$ 展开为 $2{\cos }^2\alpha -1$ 用以消去常数项 $+1$，同时将 $\sin 2\alpha$ 展开为 $2\sin \alpha \cos \alpha$。
3. 因式分解约分代入：将化简后的分子分母提取公因式进行因式约分，最后将单角三角函数值代入计算。

✅【答案】

Success

$-\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：求出 $\cos \alpha$ 的值 因为 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$，且 $\alpha$ 为第二象限角， 所以 $\cos \alpha <0$。根据同角三角函数平方关系： $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2}=-\sqrt{1-\frac{15}{16}}=-\sqrt{\frac{1}{16}}=-\frac{1}{4}$

• 第二步：对待求式进行恒等化简 应用两角和的正弦公式展开分子： $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4}+\cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha +\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha +\cos \alpha )$

  应用二倍角正弦公式 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 与余弦公式 $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ 展开分母： $\sin 2\alpha +\cos 2\alpha +1=2\sin \alpha \cos \alpha +(2{\cos }^2\alpha -1)+1=2\sin \alpha \cos \alpha +2{\cos }^2\alpha$ 提取公因式 $2\cos \alpha$： $=2\cos \alpha (\sin \alpha +\cos \alpha )$

  因为 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$， $\cos \alpha =-\frac{1}{4}$，则 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{15}-1}{4}\ne 0$， 所以将分子与分母代回分式中，可直接约去公共因式 $(\sin \alpha +\cos \alpha )$： $\text{原式}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha +\cos \alpha )}{2\cos \alpha (\sin \alpha +\cos \alpha )}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2\cos \alpha }=\frac{\sqrt{2}}{4\cos \alpha }$

• 第三步：代入数值计算结果 将 $\cos \alpha =-\frac{1}{4}$ 代入化简后的最终表达式中： $\text{原式}=\frac{\sqrt{2}}{4\times \left(-\frac{1}{4}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{-1}=-\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数象限符号判定、两角和公式、二倍角公式中“利用 $+1$ 或 $-1$ 实现常数消去”的变形技巧。
2. 核心方法：先化简、后代入法。
3. 避坑指南：
   • 开方求余弦值时必须看清象限符号。第二象限的余弦值 $\cos \alpha$ 必须为负数。若粗心忘挂负号算成 $+\frac{1}{4}$，会导致最终结果正负号反转。
   • 分母展开二倍角余弦时要有针对性。 $\cos 2\alpha$ 有三套等价展开式： ${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$、 $1-2{\sin }^2\alpha$、 $2{\cos }^2\alpha -1$。由于本题分母尾部带有 $+1$，为了实现代数式精简，必须选取 $2{\cos }^2\alpha -1$ 来实现常数相消，选错展开式会极大地加剧计算量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考中关于三角恒等变形综合基础大题第一问。
2. 结论推广: 一般地，对于结构形如 $\frac{\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)}{\sin 2\alpha +\cos 2\alpha +1}$ 的三角分式，其本身是一个与单角 $\alpha$ 有关的恒等几何多项式，在对应的非零域内，该分式恒等于 $\frac{\sqrt{2}}{4\cos \alpha }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值
• 2019-天津卷理-15 解-解三角形